Geometria diferencial

Geometria diferencial

En matemàtiques, la geometria diferencial és l'estudi de la geometria usant les ferramentes del anàlisis matemàtic i del àlgebra multilineal. Els objectes d'estudi d'este camp són les varietats diferenciables, que generalisen la noció de superfície en l'espai euclídeo, aixina com les aplicacions diferenciables entre elles. Les varietats no tenen per qué tindre una interpretació geomètrica natural, ni tampoc tenen per qué estar immerses en un espai circumdant: per eixemple, el grup llineal general $GL(n,ℝ)$ té estructura de varietat diferenciable, pero no una interpretació geomètrica intuïtiva.

Mentres que la topología diferencial se centra únicament en les propietats topològiques de les varietats, la geometria diferencial permet aplicar resultats coneguts del càlcul multivariable a les aplicacions entre varietats. Ademés, és possible adscriure a qualsevol varietat propietats geomètriques tals com distàncias i ànguls si se li dota d'una mètrica de Riemann; i característiques com geodèsicas i curvatura si s'afig una conexió.

La geometria diferencial té importants aplicacions en física, especialment en l'estudi de la teoria de la relativitat general, a on l'espai-temps es descriu com una varietat diferenciable.

Des de finals de el XIX, la geometria diferencial s'ha convertit en un camp que s'ocupa, de forma més general, de les estructures geomètriques en varietats diferenciables. Una estructura geomètrica és aquella que definix alguna noció de tamany, distància, forma, volum o una atra estructura rigidisant. Per eixemple, en geometria riemanniana s'especifiquen distàncies i ànguls, en geometria simpléctica es poden calcular volums, en geometria conforme només s'especifiquen ànguls, i en teoria gauge es donen certs camps sobre l'espai. La geometria diferencial està estretament relacionada en la topología diferencial, que s'ocupa de les propietats de les varietats diferenciables que no depenen de cap estructura geomètrica adicional (vejau eixe artícul per a més informació sobre la distinció entre els dos temes). La geometria diferencial també està relacionada en els aspectes geomètrics de la teoria d'equacions diferencials, també coneguda com anàlisis geomètric.

La geometria diferencial troba aplicacions en les matemàtiques i en les ciències naturals. El llenguage de la geometria diferencial va ser utilisat principalment per Albert Einstein en la seua teoria de la relativitat general, i posteriorment per físics en el desenroll de la teoria quàntica de camps i el model estàndar de la física de partícules. Fòra de la física, la geometria diferencial troba aplicacions en química, economia, ingenieria, teoria de control, gràfics per ordenador i visió per ordenador, i recentment en aprenentage automàtic.

Història i desenroll

L'història i el desenroll de la geometria diferencial com a matèria comencen a lo manco en l'antiguetat clàssica. Està íntimament lligada al desenroll de la geometria en general, de la noció d'espai i forma, i de la topología, especialment l'estudi de les varietats. En esta secció nos centrem principalment en l'història de l'aplicació dels métodos infinitesimalés a la geometria, i més tart a les idees d'espai tangente, i finalment al desenroll del formalisme modern del tema en térmens de tensor i camp tensorial.

Antiguetat clàssica fins a la Renaixença (300 a. C.)

L'estudi de la geometria diferencial, o a lo manco l'estudi de la geometria de les formes planes, es remonta a lo manco a l'antiguetat clàssica. En particular, se sabia molt sobre la geometria de la Terra, una geometria esfèrica, en l'época dels matemàtics grecs antics. Famosamente, Eratóstenes va calcular la circumferència de la Terra al voltant de l'any 200 a. C., i al voltant de l'any 150 d. C. Ptolomeo en el seu Geografia va introduir la proyecció estereográfica en el propòsit de traçar la forma de la Terra. Implícitament a lo llarc d'este temps es varen utilisar en geodèsia principis que constituïxen la base de la geometria diferencial i el càlcul, encara que de forma molt més simplificada. A saber, ya en l'obra d'Euclides Elements s'entenia que una llínea recta podia definir-se per la seua propietat de proporcionar la distància més curta entre dos punts, i aplicant este mateix principi a la superfície de la Terra s'aplega a la conclusió de que els grans círculs, que només són localment similars a les llínees rectes en un pla pla, proporcionen el camí més curt entre dos punts de la superfície terrestre. De fet, les medicions de la distància a lo llarc de tals trayectòries geodèsiques realisades per Eratóstenes i uns atres poden considerar-se una mida rudimentària de l'arclongitud de les curves, concepte que no va vore una definició rigorosa en térmens de càlcul fins a el XVII.

Al voltant d'esta época només va haver aplicacions manifestes mínimes de la teoria dels infinitesimals a l'estudi de la geometria, un precursor de l'estudi modern de la matèria basat en el càlcul. En Elements de Euclides d'Euclides es discutix la noció de tangència d'una recta a un círcul, i Arquímedes va aplicar el método d'agotament per a calcular les àrees de formes suaus com el círcul, i els volums de sòlits tridimensionals suaus com l'esfera, els cons i els cilindres.

Va haver poc desenroll en la teoria de la geometria diferencial entre l'antiguetat i el començ del Renaixença. Abans del desenroll del càlcul per Newton i Leibniz, el desenroll més significatiu en la comprensió de la geometria diferencial vi del desenroll de Gerardus Mercator de la proyecció de Mercator com a forma de cartografiar la Terra. Mercator coneixia les ventages i els inconvenients del seu disseny cartogràfic i, en particular, era conscient de la naturalea conformal de la seua proyecció, aixina com de la diferència entre la praga, les llínees de menor distància sobre la Terra, i la directio, les trayectòries rectilíneas del seu mapa. Mercator va observar que les praga eren curvatur oblicuas en esta proyecció. Este fet reflectix la falta d'un mapa de preservació mètrica de la superfície terrestre sobre un pla, conseqüència del posterior Theorema egregium de Gauss.

Despuix del càlcul (1600–1800)

El primer tractament sistemàtic o rigorós de la geometria utilisant la teoria dels infinitesimals i nocions del càlcul va començar al voltant del 1600, quan el càlcul va ser desenrollat per Gottfried Leibniz i Isaac Newton. En esta época, els recents treballs de René Descartes introduint la coordenades analítiques en la geometria varen permetre descriure en rigor formes geomètriques de complexitat creixent. En particular, al voltant d'esta época Pierre de Fermat, Newton i Leibniz varen iniciar l'estudi de les curves planes i l'investigació de conceptes com els punts d'inflección i els círculs osculantes, que ajuden a medir la curvatura. De fet ya en el seu Nova Methodus pro Maximis et Minimis, el seu primer treball sobre els fonaments del càlcul, Leibniz senyala que la condició infinitesimal $d^{2}y=0$ indica l'existència d'un punt d'inflexió. Poc despuix d'esta época, la germans Bernoulli, Jacob i Johann varen fer importants contribucions primerenques a l'us d'infinitesimals per a estudiar geometria.

En les conferències de Johann Bernoulli de l'época, recopilades posteriorment per L'Hopital en Analyse dones Infiniment Petits pour l'Intelligence dones Lignes Courbes, el primer llibre de text sobre càlcul diferencial, es calculen les tangentes a curves planes de varis tipos utilisant la condició $dy=0$, i de forma similar es calculen els punts d'inflexió. En esta mateixa época es realisa l' ortogonalidad entre els círculs osculantes d'una curva plana i les direccions tangentes, i s'escriu la primera fòrmula analítica per al radi d'un círcul osculante, essencialment la primera fòrmula analítica per a la noció de curvatura.

El primer tractament sistemàtic o rigorós de la geometria utilisant la teoria dels infinitesimals i nocions del càlcul va començar al voltant del 1600, quan el càlcul va ser desenrollat per Gottfried Leibniz i Isaac Newton. En esta época, els recents treballs de René Descartes introduint la coordenades analítiques en la geometria varen permetre descriure en rigor formes geomètriques de complexitat creixent. En particular, al voltant d'esta época Pierre de Fermat, Newton i Leibniz varen iniciar l'estudi de les curves planes i l'investigació de conceptes com els punts d'inflexió i els círculs d'osculación, que ajuden a medir la curvatura. De fet ya en el seu primer treball sobre els fonaments del càlcul, Leibniz senyala que la condició infinitesimal $d^{2}y=0$ indica l'existència d'un punt d'inflexió. Poc despuix d'esta época, la germans Bernoulli, Jacob i Johann varen fer importants contribucions primerenques a l'us d'infinitesimals per a estudiar geometria. En les conferències de Johann Bernoulli de l'época, recopilades posteriorment per L'Hopital en el primer llibre de text sobre càlcul diferencial, es calculen les tangentes a curves planes de varis tipos utilisant la condició $dy=0$, i de forma similar es calculen els punts d'inflexió. En esta mateixa época es realisa l' ortogonalidad entre els círculs osculantes d'una curva plana i les direccions tangentes, i s'escriu la primera fòrmula analítica per al radi d'un círcul osculante, essencialment la primera fòrmula analítica per a la noció de curvatura.

Seguint l'estela del desenroll de la geometria analítica i de les curves planes, Alexis Clairaut va iniciar l'estudi de les curves espacials en només 16 anys. En el seu llibre Clairaut va introduir la noció de direccions tangentes i subtangentes a les curves espacials en relació en les direccions que es troben a lo llarc d'una superfície sobre la que es troba la curva espacial. Aixina, Clairaut va demostrar una comprensió implícita del espai tangente d'una superfície i va estudiar esta idea utilisant el càlcul per primera volta. Clairaut va introduir la terminologia de curvatura i doble curvatura, essencialment la noció de curvatura principal estudiada més tart per Gauss i uns atres.

Per esta mateixa época, Leonhard Euler, originalment alumne de Johann Bernoulli, va fer moltes contribucions significatives no només al desenroll de la geometria, sino a les matemàtiques en general. Pel que fa a la geometria diferencial, Euler va estudiar la noció de geodèsia en una superfície derivant la primera equació geodèsica analítica, i més tart va introduir el primer conjunt de sistemes de coordenades intrínseques en una superfície, començant la teoria de la geometria intrínseca en la que es basen les idees geomètriques modernes. Per esta época, l'estudi de Euler de la mecànica en la Mechanica va conduir a la comprensió de que una massa que viajara a lo llarc d'una superfície no somesa a l'efecte de cap força travessaria una trayectòria geodèsica, un precursor primerenc de les importants idees fundacionals de la relativitat general d'Einstein, i també de les equacions de Euler-Lagrange i de la primera teoria del càlcul de variacions, que sustenta en la geometria diferencial moderna moltes tècniques de geometria simpléctica i anàlisis geomètric. Esta teoria va ser utilisada per Lagrange, co-desenrollador del càlcul de variacions, per a derivar la primera equació diferencial que descriu una superfície mínima en térmens de l'equació de Euler-Lagrange. En 1760 Euler va demostrar una teorema que expressava la curvatura d'una curva espacial sobre una superfície en térmens de les #curvatura principals, conegut com teorema de Euler.

Més vesprada, en la década de 1700, la nova escola francesa liderada per Gaspard Monge va començar a fer contribucions a la geometria diferencial. Monge va fer importants contribucions a la teoria de curves planes, superfícies, i va estudiar superfícies de revolució i envolventes de curves planes i curves espacials. Varis alumnes de Monge varen fer contribucions a esta mateixa teoria, i per eixemple Charles Dupin va proporcionar una nova interpretació de la teorema de Euler en térmens de les #curvatura principals, que és la forma moderna de l'equació.

Geometria intrínseca i geometria no euclidiana (1800-1900)

El camp de la geometria diferencial es va convertir en un àrea d'estudi considerada per dret propi, distinta de l'idea més àmplia de geometria analítica, en la década de 1800, principalment a través dels treballs fundacionals de Carl Friedrich Gauss i Bernhard Riemann, i també en les importants contribucions de Nikolái Lobachevski sobre geometria hiperbòlica i geometria no euclidiana i a lo llarc del mateix periodo el desenroll de la geometria proyectiva.

Considerada l'obra més important de l'història de la geometria diferencial, En 1827 Gauss va produir les Disquisitiones generals circa superfícies curves detallant la teoria general de les superfícies curves. En esta obra i en els seus posteriors treballs i notes inèdites sobre la teoria de superfícies, Gauss ha segut malnomenat l'inventor de la geometria no euclidiana i l'inventor de la geometria diferencial intrínseca. En el seu artícul fonamental, Gauss va introduir el mapa de Gauss, la curvatura de Gauss, la primera i la segona forma fonamental, va demostrar el Theorema egregium mostrant la naturalea intrínseca de la curvatura de Gauss, i va estudiar les geodèsiques, calculant l'àrea d'un triàngul geodèsic en vàries #geometria no euclidianas sobre superfícies.

En esta época, Gauss ya era de l'opinió de que el paradigma estàndar de la geometria euclidiana devia ser descartat, i estava en possessió de manuscrits privats sobre geometria no euclidiana que varen informar el seu estudi dels triànguls geodèsics. Per esta mateixa época János Bolyai i Lobachevski varen descobrir independentment la geometria hiperbòlica i varen demostrar aixina l'existència de #geometria consistents fora del paradigma de Euclides. Models concrets de geometria hiperbòlica varen ser produïts per Eugenio Beltrami més tart en la década de 1860, i Felix Klein va falcar el terme geometria no euclidiana en 1871, i a través del programa de Erlangen va posar en peu d'igualtat les #geometria euclidiana i no euclidiana. Implícitament, la geometria esfèrica de la Terra que s'havia estudiat des de l'antiguetat era una geometria no euclidiana, una geometria elíptica.

El desenroll de la geometria diferencial intrínseca en el llenguage de Gauss va ser impulsat pel seu alumne, Bernhard Riemann en el seu Habilitació, Sobre les hipòtesis que fonamenten la geometria. En esta obra Riemann va introduir per primera volta la noció de mètrica de Riemann i el tensor de curvatura de Riemann, i va iniciar l'estudi sistemàtic de la geometria diferencial en dimensions superiors. Este punt de vista intrínsec en térmens de la mètrica riemanniana, denotada per $d{s}^2$ per Riemann, va anar el desenroll d'una idea de Gauss sobre l'element llineal $ds$ d'una superfície. En esta época Riemann va escomençar a introduir l'us sistemàtic del àlgebra llineal i del àlgebra multilineal en el tema, fent un gran us de la teoria de les formes quadràtiques en la seua investigació de la mètrica i la curvatura. En esta época Riemann encara no havia desenrollat la noció moderna de colector, ya que ni tan sols s'havia trobat la noció d'espai topològic, pero sí va propondre que podria ser possible investigar o medir les propietats de la mètrica del espaciotiempo per mig de l'anàlisis de masses dins del espaciotiempo, Enllaçant en l'observació anterior de Euler de que les masses baix l'efecte de cap força viajarien a lo llarc de geodèsiques en superfícies, i predient l'observació fonamental d'Einstein del principi d'equivalència 60 anys ans que apareguera en la lliteratura científica.

A raïl de la nova descripció de Riemann, l'enfocament de les tècniques utilisades per a estudiar la geometria diferencial va passar dels métodos ad hoc i extrínsecos de l'estudi de curves i superfícies a un enfocament més sistemàtic en térmens del càlcul tensorial i el programa de Erlangen de Klein, i el progrés va aumentar en este camp. La noció de grups de transformacions va ser desenrollada per Sophus Lie i Jean Gaston Darboux, conduint a importants resultats en la teoria de grups de Lie i geometria simpléctica. La noció de càlcul diferencial en espais curvos va ser estudiada per Elwin Christoffel, que va introduir els símbols de Christoffel que descriuen la derivada covariant en 1868, i per uns atres, entre ells Eugenio Beltrami, que va estudiar moltes qüestions analítiques en varietats. En 1899 Luigi Bianchi va produir les seues Conferències sobre geometria diferencial que estudiaven la geometria diferencial des de la perspectiva de Riemann, i un any despuix Tullio Levi-Civita i Gregorio Ricci-Curbastro varen produir el seu llibre de text desenrollant sistemàticament la teoria del càlcul diferencial absolut i del càlcul tensorial. Va ser en este llenguage que la geometria diferencial va ser utilisada per Einstein en el desenroll de la relativitat general i la geometria pseudo-Riemanniana.

Geometria diferencial de curves i superfícies

Artícul principal → Geometria diferencial de curves.

Varietats diferenciables

Artícul principal → Varietat diferenciable.

Una varietat és un objecte matemàtic que generalisa les nocions de curvas i superfícies a objectes de més de dos dimensions, no necessàriament embebidos en l'espai euclídeo. De forma intuituva, una varietat $M$ és un conjunt que localment és similar a l'espai euclideo ${ℝ}^n$ de dimensió $n$, per a cert sancer positiu $n$ que es denomina dimensió de la varietat.

El modo de descriure esta relació entre abdós conjunts és per mig de coleccions de funcions, cridades cartes. A la colecció d'estes cartes se li denomina atles. Un atles $𝒜$ per a una varietat $M$ és una colecció de parells $𝒜=\{(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }):\alpha \in I\}$, a on

• cada conjunt $U_{\alpha }\subset M$ és un entorn obert de la varietat.
• l'unió de tots els oberts $U_{\alpha }$ recobrix $M$: $\bigcup _{\alpha \in I}{U}_{\alpha }=M$.
• cada funció ${\phi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to V_{\alpha }\subset {ℝ}^n$ és biyectiva.

A les funcions ${\phi }_{\alpha }$ se'ls denomina funcions de coordenades. Per a cada parell d'índexs $\alpha ,\beta \in I$, la funció

${\tau }_{\alpha ,\beta }={\phi }_{\beta }\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}:(V_{\alpha }\cap V_{\beta })\to (V_{\alpha }\cap V_{\beta })$

està ben definida quan les imàgens d'abdós cartes tenen intersecció no buida. Estes funcions es denominen funcions de transició, i són funcions reals de vàries variables, les propietats de les quals són ben conegudes. Depenent de quines propietats tinguen estes funcions, parlarem d'un tipo de varietat o d'una atra.

Sobre la base d'una varietat $M$ es poden definir nivells successius d'estructura que afigen propietats adicionals. En general, estes depenen de les propietats que són conservades per les funcions de transició; en atres casos és necessari especificar l'estructura adicional de forma explícita:

• Estructura de varietat topològica, si es definix una topología en $M$ que siga compatible en les cartes (és dir, que les funcions de coordenades siguen homeomorfismes). Se sol requerir també que $M$ siga un espai de Hausdorff i que satisfaça el segon axioma de numerabilidad.
• Estructura de varietat diferenciable, si l'atles és diferenciable, és dir, les funcions de transició són diferenciables. En tal cas es diu que les funcions de transició són compatibles; la compatibilitat de cartes és una relació d'equivalència. Análogamente es poden definir varietats analítiques i varietats dianalíticas (sobre $ℂ$ i ${ℂ}^{+}$).
• una mètrica Riemanniana, que és un producte intern definit per a cada espai tangente, i que varia suaument d'un punt a un atre. Esta estructura permet definir les nocions de distància i d'àngul en la varietat.
• una conexió especifica la manera de conectar l'entorn d'un punt en l'entorn d'un atre. Permet definir un tipo de derivació d'interés en geometria diferencial: la derivada covariant.

Aplicacions diferenciables entre varietats

Quan dos varietats tenen estructura de varietat diferenciable, llavors podem definir la noció d'aplicació diferenciable entre elles. Sean dos varietats $M$ i $N$, de dimensions $m$ i $n$, en estructura diferenciable respecte dels atles $\{(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }):\alpha \in I\}$ i $\{(W_{\beta },{\psi }_{\beta }):\beta \in J\}$.

Es diu que una aplicació $f:M\to N$ és diferenciable en un punt p si para tot parell de cartes $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$ i $(W_{\beta },{\psi }_{\alpha })$, centrades en p i en f(p) respectivament, la composició

$F={\psi }_{\beta }\circ f\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}:V_{\alpha }\to W_{\beta }$

és diferenciable com a funció multivariable $F:V_{\alpha }\subset {ℝ}^m\to W_{\beta }\subset {ℝ}^n$. Es diu que l'aplicació és diferenciable' si és diferenciable en tot punt de $M$. El que les funcions de transició siguen diferenciables garantisa que la definició no depenga de les cartes elegides.

Es tenen les següents propietats:

• La composició de dos funcions diferenciables és diferenciable.
• Les funcions de coordenades són diferenciables, i per tant difeomorfismos.

Varietats tangentes

Artícul principal → Fibrado tangente.

Vore també

• topología diferencial.
• Geometria diferencial de varietats.

• Construccions tècniques útils en geometria diferencial:
  • Grup de Lie
  • Fibrado
  • Classe característica
  • Derivada covariant.
• Geometria diferencial i física:
  • Geometria riemanniana
  • Teoria de gauge
  • tensor de curvatura

• Àrees de Matemàtiques relacionades
• Càlcul infinitesimal
• Equacions diferencials
• Anàlisis funcional,
• Geometria analítica.
• Geometria algebraica.
• Geometria simpléctica.

Bibliografia adicional

• Ethan D. Bloch. A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry (en anglés), Boston: Springer Science & Business Mija. OCLC 811474509. ISBN 978-0-8176-8122-7.
• Burke, William L.. Applied differential geometry (en anglés), Cambridge University Press. OCLC 53249854. ISBN 0-521-26929-6.
• Frankel, Theodore. The geometry of physics : an introduction, 2nd edició (en anglés), New York: Cambridge University Press. OCLC 51855212. ISBN 978-0-521-53927-2.
• Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica., 3rd edició (en anglés), Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. OCLC 1048919510. ISBN 978-1-351-99220-6.
• Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry (en anglés), New York: Dover Publications. OCLC 23384584. ISBN 978-0-486-66721-8.
• Kühnel, Wolfgang (2002). Differential Geometry: Curves – Surfaces – Manifolds, 2nd edició (en anglés), Providence, R.I.: American Mathematical Society. OCLC 61500086. ISBN 978-0-8218-3988-1.
• McCleary, John (1994). Geometry from a differentiable viewpoint (en anglés), Cambridge University Press. OCLC 915912917. ISBN 0-521-13311-4.
• Spivak, Michael. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes), 3rd edició (en anglés), Publish or Perish. OCLC 179192286. ISBN 0-914098-72-1.
• ter Haar Romeny, Bart M.. Front-end vision and multi-scale image analysis : multi-scale computer vision theory and applications, written in Mathematica (en anglés), Dordrecht: Kluwer Academic. OCLC 52806205. ISBN 978-1-4020-1507-6.

Enllaços externs

• Curse alvançat de geometria diferencial, per Álvaro Tejero Cantero i Marta Balbás Gambra (en llicència lliure).
• Differential Geometry en MathWorld.

• Plantilla:Springer
• B. Conrad. Differential Geometry handouts, Stanford University
• Michael Murray's online differential geometry course, 1996
• Archivat el 1 de agost de 2013 archivat en Wayback Machine.
• A Modern Course on Curves and Surfaces, Richard S Palais, 2003 [1] archivat en Wayback Machine.
• Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery [2] archivat en Wayback Machine.

• Balázs Csikós's Notes on Differential Geometry [3] archivat en Wayback Machine.
• N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.
• MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008