Infinitesimal

Archiu:Números hiperreales.png

Números hiperreales.

Lo infinitesimal o infinitésimo es referix a una cantitat més propenca a zero que qualsevol número real estàndar pero diferent de zero. El terme va escomençar com una noció informal i no rigorosa originalment pensada com una "cantitat infinitament menuda", i originalment va fonamentar certs raonaments del càlcul infinitesimal. En la crisis dels fonaments matemàtics de principis de el XIX els infinitésimos varen ser abandonats pels matemàtics, encara que varen seguir sent tractats informalment en les ciències aplicades, i se solen considerar com a números en la pràctica. Solament despuix de la segona mitat de el XX va aparéixer un enfocament totalment rigorós dels números infinitesimals.

l'anàlisis no estàndar introduït en els anys 1960 per Abraham Robinson és un enfocament axiomàtic i rigorós que permet introduir infinitesimals (números hiperreales no nuls que el seu valor absolut és més chicotet que qualsevol número real estàndar). Si ben els resultats que poden conseguir-se per mig de l'anàlisis no estàndar poden ser alcançats per la teoria estàndar dels número real, existixen moltes demostracions matemàtiques i deduccions que són més simples i breus quan s'usen l'anàlisis no estàndar. L'invers multiplicativo d'un infinitesimal és un número real no estàndart illimitat.

Introducció

El càlcul infinitesimal va ser propost inicialment per Arquímedes. Després va ser utilisat per Isaac Newton i Gottfried Leibniz, en les albors del sorgiment del anàlisis matemàtic modern, pero posteriorment va ser desacreditat per George Berkeley i finalment oblidat. Durant el XIX Karl Weierstrass i Cauchy varen començar a utilisar la definició formal de llímit matemàtic, per lo que el càlcul infinitesimal ya no era necessari. No obstant durant el XX els infinitesimals varen ser rescatats com una ferramenta que ajuda a calcular llímits de forma simple. És prou popular l'us de infinitésimos en la bibliografia russa.

Una atra manera de treballar en els infinitésimos és considerar-los com a números, i no com a llímits, és dir treballar en un conjunt $\mathrm{\Re }$ que continga més números que els usuals. Se'ls criden números hiperreales, i són una creació del anàlisis no estàndar.

Anàlisis estàndar

Noció general

Un infinitesimal o infinitésimo s'associa a una cantitat molt menuda, un possible intent de formalisar és considerar infinitesimal com a funció o magnitut que satisfaça:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$ es diu que f és un infinitésimo en x=a

Algunes funcions són infinitésimos en determinats punts, per eixemple:

f(x) = x-1 és un infinitésimo en x=1.

g(x) = sen(x) és un infinitésimo en $0+k\pi$ en $k\in \mathbb{Z}$.

Per lo tant, tota funció quan tendix a 0 en un punt es denomina infinitésima.

Propietats dels infinitésimos

1. La suma finita de infinitésimos és un infinitésimo.
2. El producte de dos infinitésimos és un infinitésimo.
3. El producte d'un infinitésimo per una funció acotada és un infinitésimo.
4. El producte d'una constant per un infinitésimo és un infinitésimo.

Comparació de infinitésimos

Donades $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$ i $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0$

1. Si $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\pm \mathrm{\infty }$ f i g són infinitésimos comparables en x=a i f és un infinitésimo d'orde inferior a g en x=a.
2. Si $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$ f i g són infinitésimos comparables en x=a i f és un infinitésimo d'orde superior a g en x=a.
3. Si $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=l$ en $l$ pertanyent a $ℝ-\left\{0\right\}$ f i g són infinitésimos del mateix orde en x=a.
4. En particular, si $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=1$ f és un infinitésimo equivalent a g en x=a
   
   

Si dos infinitésimos són equivalents llavors es pot aproximar un a un atre. És dir si f(x) i g(x) són infinitésimos equivalents quan $x\to a$ llavors es pot dir que $f(x)\approx g(x)$ quan $x\to a$. Si es presenten com a factor o divisor poden substituir-se un per un atre per al càlcul de llímits quan $x\to a$:

Teorema: si existix el llímit de $f(x)/h(x)$ quan $x\to a$, sent $f$ i $g$ infinitésimos equivalents en $x=a$, llavors el llímit de $g(x)/h(x)$ és igual al llímit de $f(x)/h(x)$.

Alguns Infinitésimos equivalents

$f(x)$ és un infinitésimo quan $x\to 0$:

1. $\mathrm{sen}(x)\approx x$
2. $\tan (x)\approx x$
3. $1-\cos (x)\approx \frac{x^2}{2}$
4. $\arcsin (x)\approx x$
5. $\arctan (x)\approx x$
6. $e^x-1\approx x$
7. $\ln (1+x)\approx x$
8. $a^x-1\approx x\cdot \ln (a)$
9. $\frac{(x+1{)}^n-1}{x}\approx n,n>1$

$f(x)$ és un infinitésimo quan $x\to 1$:

1. $\ln (f(x))\approx f(x)-1$

Vore també

• Números hiperreales
• Regla de L'Hôpital
• Llímit d'una funció
• Derivada
• Integral

Referències

Bibliografia

• (1995) Diner & Diener (ed.). Nonstandard Analysis in Practice (en anglés), Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-60297-2.
• (1996).«Senar-standard analysis».Princeton University Press.