Superfície de revolució

Una superfície de revolució és aquella que es genera per mig de la rotació d'una curva plana, o generatriz, al voltant d'una recta directriu, cridada eix de rotació, la qual es troba en el mateix pla que la curva. Eixemples comuns d'una superfície de revolució són:

Superfície de revolució.

• Una superfície de revolució cilíndrica és generada per la rotació d'una llínea recta, paralela a l'eix de rotació, al voltant del mateix; esta superfície determina un volum denominat cilindre, que es denomina sòlit de revolució; la distància entre l'eix i la recta es denomina ràdio.

• Una superfície de revolució cònica és generada per la rotació d'una recta al voltant d'un eix al com interseca en un punt, cridat vèrtiç o àpiç, de manera que l'àngul baix el que la generatriz curta a l'eix és constant; la superfície cònica delimita al volum denominat con.

• Una superfície de revolució esfèrica està generada per la rotació d'una semicircunferencia al voltant de la seua diàmetro; esta tanca al sòlit de revolució cridat esfera.

• Una superfície de revolució toroidal està generada per la rotació d'una circumferència al voltant d'un eix que no la interseca en cap punt; esta superfície es denomina bou.

Aplicacions

L'utilisació de superfícies de revolució és essencial en diversos camps de la física i l'ingenieria, aixina com en el disseny, quan es dibuixen objectes digitalment, les seues superfícies poden ser calculades d'esta manera sense necessitat de medir la llongitut o el radi de l'objecte.

l'alfarería, i el tornejat industrial, molegen i modelen volums en variades superfícies de revolució de gran utilitat i us quotidià.

Àrea d'una superfície de revolució

Si la curva està definida per les funcions $x(t)$ i $y(t)$, pertanyent $t$ a un interval $[a,b]$ i sent l'eix de revolució l'eix coordenado $Y$, l'àrea $A$ estarà donada, llavors, per l'integral

sent $x(t)$ sempre positiva. Esta equació és equivalent al Teorema del centroide de Pappus. Aixina mateix, la cantitat

es deriva del teorema de Pitágoras i representa un segment diferencial del arc de la curva, com en l'equació de la llongitut d'arc. La cantitat $2\pi x(t)$ és el camí descrit pel centroide de dit segment girant al voltant de l'eix de revolució.

Aixina mateix, quan l'eix de rotació és l'eix x i sempre que i(t) mai siga negatiu, l'àrea ve donada per

Si la curva està definida per la funció $y=f(x)$, l'integral es transforma en

per a una curva que gira al voltant del eix "x" de les abscisses, i

per a una curva definida per la funció $y=f(x)$ que gira al voltant de l'eix "i" de les ordenades.

Com a eixemple, l'esfera, en un radi unitari, està generada per la curva $x(t)=cos(t)$ i $y(t)=sen(t)$ quan $t$ pren valors en l'interval $[0,\pi ]$. La seua àrea, per tant, serà

Vore també

• Sòlit de revolució
• Banya de Gabriel