Circumferència

Circumferència

Circumferència en centre en el punt M i ràdio r

La circumferència és una curva plana i tancada tal que tots els seus punts estan a igual distància del centre.

Està definida pels infinits punts d'un pla que disten d'un punt fix (centre) en una magnitut constant denominada ràdio.

Una circumferència és el lloc geomètric dels punts d'un pla que equidistan a un atre punt cridat centre.

Distinguixca's de círcul, el lloc geomètric del qual queda determinat per una circumferència, i la regió del pla que tanca esta.

Circumferències produïdes per la variació en la proyecció d'una esfera en un pla

Història

L'interés per conéixer la llongitut d'una circumferència sorgix en Babilonia. Quan usaven els carros en rodes, era primordial relacionar el diàmetro o ràdio en la circumferència ajudant a millorar la precisió a l'hora de fabricació de les rodes i a la seua volta facilitar el transport.

Parts

Elements rellevants de la circumferència, heretats pel círcul:

• El centre és el punt equidistant a tots els punts d'una circumferència. Senyalat en el nom $C$ en la figura.
• Un ràdio és qualsevol segment que unix el centre de la circumferència en un punt qualsevol de la mateixa. El radi també és la llongitut dels segments del mateix nom. Senyalat en el nom $r$ en la figura.
• Un diàmetro és qualsevol segment que unix dos punts de la circumferència passant pel seu centre. El diàmetro també és la llongitut del segment del mateix nom. Senyalat en el nom $d$ en la figura.
• El perímetro és el contorn de la circumferència i la seua llongitut. Senyalat en el nom $L$ en la figura.

  

• Una cuerdo és qualsevol segment que unix dos punts d'una circumferència. El diàmetro és una corda de màxima llongitut. Segment vert en la figura.
• Un arc és qualsevol porció de circumferència delimitada per dos punts sobre esta. Es diu també que una corda subtiende cada arc que determinen els seus extrems. Llínea curva blava en la figura.
• Una flecha o sagita respecte una corda és el segment del seu mediatriz que hi ha entre esta corda i l'arc que determina esta, sense passar pel centre. Segment roig en la figura.
• Una semicircunferencia és qualsevol arc delimitat pels extrems d'un diàmetro.

Perímetro

La llongitut d'una circumferència en funció del radi $r$ o del diàmetro $d=2\cdot r$ és:

$\ell =2\pi \cdot r=$ $\pi \cdot d$

a on $\pi =3,14159\dots$ és la constant pi.

Àrea

Artícul principal → Círcul.

l'àrea del círcul o de la regió del pla delimitada per una circumferència:

A =$\frac{\ell \cdot r}{2}=$ $\pi \cdot r^2=$ $\frac{\pi \cdot d^2}{4}$

Posicions relatives respecte la circumferència

Vore també: Posicions relatives en el círcul

Punts

Posicions dels punts respecte de la circumferència:

• Un punt exterior és el que està a una distància major al radi de la circumferència respecte la posició del seu centre.
• Un punt interior és el que està a una distància menor al radi de la circumferència respecte la posició del seu centre.

Rectes

Posicions de les rectes respecte de la circumferència:

• Una recta exterior és qualsevol recta que no té punts en comú en la circumferència.
• Una recta tangente és qualsevol recta que toca la circumferència en un únic punt.
• Una recta secante és qualsevol recta que talla la circumferència en dos punts.

Es diu punt de tangència cada u dels punts que compartix la circumferència en els diferents elements tangentes, és dir, el punt a on es produïx la tangència. En tot punt de la circumferència es poden fer tangència.

Entre circumferències

Posiciones entre circumferències:

• Una circumferència és exterior a una atra, si tots els seus punts són exteriors a esta atra. Vore la figura 1 i 8.
• Una circumferència és interior a una atra, si tots els seus punts són interiors a esta atra. Vore la figura 5.
• Una circumferència és circumdant a una atra, si tots els seus punts no són interiors a esta atra que a la seua volta no és exterior a la primera. Vore les figures 7 i 8.
• Una circumferència és tangente exterior a una atra, si tenen un únic punt comú i tots els demés punts d'una són exteriors a l'atra. Vore la figura 2.
• Una circumferència circumdant és tangente exterior a una atra, si tenen un únic punt comú. Vore la figura 7.
• Una circumferència és tangente interior a una atra, si tenen un únic punt comú i tots els demés punts d'una són interiors a l'atra. Vore la figura 4.
• Una circumferència és secante a una atra, si es tallen en dos punts distints. Vore la figura 3.
• Una circumferència és secante ortogonalmente a una atra, si l'àngul de la seua intersecció és recte, és dir, les seues rectes tangentes en cada una de les interseccions són perpendiculars.
• Són excèntriques les circumferències que no tenen el mateix centre.
• Són concèntriques les circumferències que tenen el mateix centre, és dir, les que no són excèntriques.
• Són coincidentes les circumferències que tenen el mateix centre i el mateix radi, és dir, que tots els punts d'una són els de l'atra i viceversa. Vore la figura 6.

Ànguls en una circumferència

Posició dels ànguls respecte d'una circumferència, pot ser:

• Un àngul central és el que té el seu vèrtiç en el centre de la circumferència. Vore la figura 1.
• Un àngul inscrit és el que té el seu vèrtiç sobre la circumferència els costats de la qual determinen una corda cada u en la dita circumferència. Vore la figura 2.

• Un àngul semiinscrito és el que té el seu vèrtiç sobre la circumferència i un dels seus costats secantes determina una corda i l'atre una recta tangente a la circumferència, és dir, que el vèrtiç és un punt de tangència. Vore la figura 3.
• Un àngul exinscrito és el que té el seu vèrtiç sobre la circumferència i un dels seus costats determina una corda i la prolongació de l'un atre determina una atra corda, és dir, és l'àngul exterior d'un àngul inscrit. Vore la figura 4.
• Un àngul interior és el que té el seu vèrtiç en l'interior de la circumferència. Vore la figura 5.
• Un àngul exterior és el que té el seu vèrtiç en l'exterior de la circumferència i cada costat és tangente o secante a la circumferència. Vegen-se les figures 6,7 i 8.

Propietats

En l'àngul central la seua amplitut $\alpha$ i el radi $r$ de la circumferència, determina la llongitut de l'arc $\ell ,$ resaltat en la figura en blava. Si l'àngul està en graus:

Si l'àngul està en radianes:

${\ell }_{\alpha }=$ $\alpha \cdot r$

Artícul principal → Arc capaç.

l'arc capaç relaciona l'àngul central, inscrit, semiinscrito i exinscrito sempre que les interseccions dels costats mantinguen la mateixa distància.

Si l'àngul inscrit, semiinscrito i exinscrito tenen la mateixa amplitut $\alpha$, llavors, determinen la mateixa llongitut d'arc, de color blau en l'image, sobre una mateixa circumferència de radi $r$. Si l'àngul està en graus:

Si l'àngul està en radianes:

${\ell }_{\alpha }=$ $\alpha \cdot 2\cdot r$

Diversos tipos d'ànguls apareixen en l'anàlisis de la potència d'un punt respecte d'una circumferència.

Inscripció i circumscripció

Direm que una circumferència està circumscrita a un polígon quan tots els vèrtiços de dit polígon estan sobre esta, es diu que este polígon està inscrit.

Direm que una circumferència està inscrita a un polígon quan siga tangente a tots els costats de dit polígon, es diu que este polígon està circumscrit.

Vore també

• Círcul
• Disc (topología)
• Circumferència de Apolonio
• 3-esfera | n-esfera
• Secció cònica
• Elipse | Paràbola | Hipérbola
• Teorema segona de Tals