N-esfera

Aixina com una proyecció estereográfica pot representar la superfície d'una esfera en un pla, també es pot proyectar una 3-esfera en l'espai tridimensional. Esta image mostra les tres direccions de coordenades proyectades en l'espai tridimensional: paralels (roig), meridianos (blau) i hipermeridianos (vert). Per la propietat de conformitat de la proyecció estereográfica, les curves es creuen entre sí ortogonalmente (en els punts grocs) de la mateixa manera que en 4D. Totes les curves són circumferències: les curves que intersecan Plantilla:Angbr tenen un radi infinit (es proyecten com a llínees rectes)

En matemàtiques, una n-esfera (o hiperesfera) és la generalisació de la «esfera» a un espai euclídeo de dimensió arbitrària. En atres paraules, la n-esfera és una hipersuperficie de l'espai euclídeo $ℝ^{n + 1}$ , denotada en general com $𝕊^{n}$ . Constituïx un dels eixemples més senzills de varietat matemàtica.

Des d'un punt de vista analític, una $n$ -esfera és un espai topològic que és homeomorfo a una $n$ -esfera estàndar, que és el conjunt de punts en un espai euclídeo $(n +1)$ -dimensional que es troben a una distància constant $r$ respecte a un punt fix, cridat centre. Quan l'esfera té un radi unitat, és habitual cridar-la $n$ -esfera unitat, o simplement $n$ -esfera per brevetat. En térmens de la norma estàndar, una $n$ -esfera es definix com

S^{n} = {x \in ℝ^{n + 1} : ‖ x ‖ = 1},

i una $n$ -esfera de ràdio $r$ es pot definir com

S^{n} (r) = {x \in ℝ^{n + 1} : ‖ x ‖ = r} .

La 0-esfera és un parell de punts sobre una recta a una unitat de distància de l'orige, la 1-esfera és una circumferència en el pla i la 2-esfera és una esfera ordinària dins de l'espai tridimensional.

La dimensió d'una $n$ -esfera és $n$ , i no deu confondre's en la dimensió $(n +1)$ de l'espai euclídeo en el que queda naturalment embebida. Una $n$ -esfera és la superfície o llímit d'una bola $(n +1)$ dimensional.

En particular:

El parell de punts en els extrems d'un segment (unidimensional) és una 0-esfera
Una circumferència, que és el contorn unidimensional d'un círcul (bidimensional), és una 1-esfera
La superfície bidimensional d'una bola (tridimensional) en un espai tridimensional és una 2-esfera, a sovint simplement cridada esfera
La frontera tridimensional d'una 4-bola (quatre dimensions) en l'espai euclídeo tetradimensional, és un 3-esfera, també coneguda com glomo
El llímit $(n -1)$ -dimensional d'una $n$ -bola ( $n$ -dimensional) és una $(n -1)$ -esfera.

Per a $n \geq2$ , les $n$ -esferes que són varietats diferenciables poden caracterisar-se (fins a un difeomorfismo) com varietats $n$ -dimensionals conexas de curvatura constant i positiva. Les $n$ -esferes admeten vàries atres descripcions topològiques: per eixemple, es poden construir pegant dos espais euclídeos $n$ -dimensionals, identificant el llímit d'un $n$ -gaveta en un punt, o (inductivamente) formant la suspensió d'una $(n -1)$ -esfera. La 1-esfera és la 1-varietat que és una circumferència, que no és simplement conexa. La 0-esfera és la 0-varietat que consta de dos punts, que ni tan sols és conexa.

Definició

Donat un espai euclídeo I de dimensió n+1, A un punt de I, i R un número real estrictament positiu, se li crida hiperesfera de centre A i ràdio R al conjunt de punts M tals que la seua distància a A val exactament R.

La n+1-tupla de punts (x₁,x₂,…,x_n+1) que estan en una n-esfera (Sⁿ) es representa en l'equació:

a on el centre és l'orige de coordenades O (0,0,...,0).^[1] Tenint com a senyes un punt fix $P = (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n})$ cridat centre i el radi R, real positiu, sent $X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ un punt qualsevol de la hiperesfera, l'equació corresponent és,^[2]^[3]

o escrit en forma vectorial, com:

Descripció

Per a qualsevol número natural $n$ , una $n$ -esfera de ràdio $r$ es definix com el conjunt de punts en l'espai euclídeo $(n +1)$ -dimensional que estan a una distància $r$ d'un punt fix $c$ , a on $r$ pot ser qualsevol número real positiu i a on $c$ pot ser qualsevol punt en l'espai $(n +1)$ dimensional. En particular:

Una 0-esfera és un parell de punts ${c - r, c + r}$ , i és el llímit d'un segment recte (1-bola)
Una 1-esfera és una circumferència de ràdio $r$ centrada en $c$ , i és el llímit d'un disc (2-bola)
Una 2-esfera és un esfera bidimensional ordinària en un espai euclídeo tridimensional, i és el llímit d'una bola ordinària (3-bola)
Una 3-esfera és una esfera tridimensional en un espai euclídeo de 4 dimensions

Coordenades euclídeas en el $(n +1)$ -espai

El conjunt de punts en l'espai $(n +1)$ , $(x 1, x 2, ..., x n +1)$ , que definixen una $n$ -esfera, $S^{n} (r)$ , està representat per l'equació:

r^{2} = \sum_{i = 1}^{n + 1} {(x_{i} - c_{i})}^{2}

a on $c$ = $(c 1, c 2, ..., c n +1)$ és un punt central i $r$ és el radi.

La $n$ -esfera anterior existix en l'espai euclídeo $(n +1)$ -dimensional i és un eixemple de $n$ -varietat. La forma de volum $ω$ d'una $n$ -esfera de ràdio $r$ ve donada per

ω = \frac{1}{r} \sum_{j = 1}^{n + 1} (- 1)^{j - 1} x_{j} d x_{1} \land \dots \land d x_{j - 1} \land d x_{j + 1} \land \dots \land d x_{n + 1} = * d r

a on $*$ és el dual de Hodge; vore Flanders (1989, §6.1) per a una discussió i prova d'esta fòrmula en el cas $r = 1$ . Com a resultat,

d r \land ω = d x_{1} \land \dots \land d x_{n + 1} .

$n$ -bola

Artícul principal → Bola (matemàtica).

L'espai tancat per una $n$ -esfera es diu $(n +1)$ -bola. Una $(n +1)$ -bola és tancada si inclou la $n$ -esfera, i és oberta si no inclou la $n$ -esfera.

Específicament:

Una 1-bola, un segment, és l'interior d'una 0-esfera
Una 2-bola, un círcul, és l'interior d'una circumferència (1-esfera)
Una 3-bola, una bola ordinària, és l'interior d'una esfera (2-esfera)
Una 4-bola és l'interior d'una 3-esfera, i aixina successivament

Descripció topològica

Topológicamente, una $n$ -esfera es pot construir com una compactación en un punt de l'espai euclídeo $n$ -dimensional. Breument, la $n$ -esfera pot descriure's com $S n = R n \cup {\infty}$ , que és un espai euclídeo $n$ -dimensional més un únic punt que representa l'infinit en totes les direccions. En particular, si s'elimina un únic punt d'una $n$ -esfera, es convertix en homeomórfica a $R n$ . Esta circumstància sustenta la base de la proyecció estereográfica.^[4]

Vore també

Referències

↑ Consistència en la definició de hiperesfera i la fòrmula de distància en Iⁿ⁺¹
↑ Desenroll analític de la definició
↑ Lang, Serge: Introducció a l'Anàlisis Matemàtic, ISBN 0-201-62907-0, pg. 100
↑ James W. Vick (1994). Homology theory, p. 60. Springer

Bibliografia

(1989) Differential forms with applications to the physical sciences, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8.
(1996) Experiencing geometry: on plane and sphere, Prentice Hall. ISBN 978-0-13-373770-7.
(1985) The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds, Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0.
“Choosing a Point from the Surface of a Sphere” (1972). Annals of Mathematical Statistics 43 (2): 645–646. doi:10.1214/aoms/1177692644.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «N-esfera» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Consistència en la definició de hiperesfera i la fòrmula de distància en Iⁿ⁺¹

[2] Desenroll analític de la definició

[3] Lang, Serge: Introducció a l'Anàlisis Matemàtic, ISBN 0-201-62907-0, pg. 100

[4] James W. Vick (1994). Homology theory, p. 60. Springer

[1]

[2]

[3]

[4]

Definició

Descripció

Coordenades euclídeas en el (n+1)-espai

n-bola

Descripció topològica

Vore també

Referències

Bibliografia

Referències

Coordenades euclídeas en el $(n +1)$ -espai

$n$ -bola