Operador de proyecció

Archiu:Orthogonal projection.svg

La transformació P és la proyecció ortogonal sobre una recta m

En matemàtiques, un operador de proyecció P en un espai vectorial és una transformació llineal idempotent, és dir, que satisfà l'igualtat P² = P.

Introducció

Dites transformacions proyecten qualsevol punt x de l'espai vectorial a un punt del subespacio image de la transformació. En cas que x pertanyga al subespacio image, la proyecció no té efecte, deixant el punt x fix.

Per eixemple, l'operador P definit en R³ de la forma següent

és un operador que "proyecta" l'espai R³ sobre l'espai de dimensió 2 que consistix dels vectores la coordenada dels quals i és zero.

Esta definició abstracta, de "proyector" o "proyecció" generalisa l'idea gràfica intuïtiva de proyecció estenent-la a qualsevol tipo d'espai vectorial, incloent el cas de dimensió infinita a on no resulta possible una aproximació gràfica.

Descomposició d'un vector per mig d'una proyecció

Siga V un espai vectorial, $P:V\to V$ una proyecció i $I:V\to V$ l'aplicació identitat. Es verifica que Q=I-P és una proyecció. Ademés, ya que P+Q=I tot vector pot ser descompost de la següent forma: $𝒙=𝑷(𝒙)+𝑸(𝒙)={𝒙}_1+{𝒙}_2$.

Vore també

• Matriu de centrat, que és un eixemple de matriu de proyecció.
• Algoritme de proyecció de Dykstra per a calcular la proyecció sobre una intersecció de conjunts
• Subespacio invariante
• Anàlisis espectral de mínims quadrats
• Ortogonalización
• Propietats de la traça

Bibliografia

• «Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics».Chapman and Hall/CRC.
• (1958) Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience.
• Meyer, Carl D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-454-8.