Subespacio invariante

Archiu:PlanoXYinvariante.gif

Gràfica de dos vectores i les seues respectives transformacions per mig d'una rotació respecte a l'eix z. El vector contingut en el pla xy (groc) té una transformada (verda) en el mateix pla

En àlgebra llineal, un subespacio invariante és un subespacio vectorial que conté les transformades de les seues vectores, donada l'aplicació llineal corresponent.

Si es tenen un subespacio S i una aplicació f, de manera que les transformades dels vectores de S a través de f pertanyen al mateix S, es diu que el subespacio S és f-invariante, o invariante per f.

Definició

Siga $𝕍$ un conjunt de vectores sobre el qual està definida una estructura d'espai vectorial. Donat un endomorfisme $f:𝕍\to 𝕍$ es diu que

Un subespacio $S$ de $𝕍$ és un subespacio invariante per $f$ (o f-invariante) si para tot vector $𝐬\in S$ es complix que $f(𝐬)\in S$.

En atres paraules, $S$ és un subespacio invariante si $f(S)\subseteq S$.

Eixemples

• Considerem $𝕍={ℝ}^3$ i f una aplicació llineal que trencada un vector donat al voltant de l'eix z. Notem que el pla xy (cridem-ho $S=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:z=0\}$) és un subespacio de $𝕍$.

Al rotar un vector qualsevol d'este pla al voltant de l'eix z s'obté un atre vector en el mateix pla. És dir que para tot $𝐬\in S$ es té que $f(𝐬)\in S$, o be, si transformem qualsevol vector contingut en xy obtenim un atre vector també contingut en este pla. Per lo tant, el pla S és f-invariante.

• El núcleu d'una aplicació llineal f és un subespacio f-invariante.

• L'image d'una aplicació llineal també és un subespacio invariante front l'aplicació en qüestió.

• Considerem ara una aplicació llineal f en un vector propi v. El subespacio generat per v és un subespacio f-invariante.

• Donat un polinomi $p\in 𝕂[t]$, el núcleu i l'image de l'aplicació resultant d'aplicar $p$ a $f$, $\ker p(f)$ i $\mathrm{Im}p(f)$, són subespacios $f$-invariantes.

• Anem a un eixemple més concret, considerem la transformació llineal $T:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ definida com a T(x)=A x a on $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 3\\ 0& -4& 5\end{array}\right]$ llavors el subespacio generat pel vector (1,0,0) és un subespacio invariante front a T, ya que el vector mencionat és un autovector de T (està associat al autovalor 1, es veu que $T\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ).
• Generalisant l'eixemple anterior, donada la Forma canònica de Jordan d'una transformació llineal, cada u dels subespacios associats als blocs de Jordan són subespacios invariantes front a la transformació en qüestió.

Simetria

• Considerem el pla R² i la transformació llineal que a cada vector de dit pla li assigna la seua reflexió respecte a l'eix i, és dir T(x,i)=(-x,i). El subespacio generat pel vector (1,0) és T-invariante, mentres que (1,1) no.
• Considerem el pla R² i la transformació llineal que a cada vector de dit pla li assigna la reflexió respecte a l'orige de coordenades, és dir T(x,i)=(-x,-i). Llavors tot subespacio de R² és invariante front a dita reflexió.

Vore també

• Forma canònica de Jordan
• Vector propi i valor propi
• Problema del subespacio invariante