Subespacio vectorial

En àlgebra llineal, un subespacio vectorial és el subconjunt d'un espai vectorial, que satisfà per sí mateixa la definició d'espai vectorial en les mateixes operacions que V l'espai vectorial original.

Definició de subespacio vectorial

Siga $V_{}^{}$ un espai vectorial sobre $K_{}^{}$ i $U\subset V$ no buit, $U_{}^{}$ és un subespacio vectorial de $V_{}^{}$ si:

$i)\mathrm{\forall }u,v\in U,u+v\in U$

$ii)\mathrm{\forall }u\in U,\mathrm{\forall }k\in K,ku\in U$

Conseqüències

Un subconjunt de vectores que complix les dos condicions anteriors és un subespacio vectorial i per tant un espai vectorial.

Notacions

Dau $F$ un subespacio vectorial, es té:

Per a i) l'abús de llenguage $F+F\subset F$, i inclús $F+F=F$ és correcte.

Per a ii) l'abús de llenguage $\lambda F\subset F$, i inclús $\lambda F=F,\mathrm{\forall }\lambda \in K-\{0\}$ és correcte.

Criteri de verificació

És possible sintetisar i) i ii) en una condició única:

Eixemples

Donat l'espai vectorial ${ℝ}^2$, els seus elements són del tipo $(a,b)\in {ℝ}^2$.

• 0→,u i λu estan alineats, ∀u∈ℝ2, ∀λ∈K.
  $\overrightarrow{0},u$ i $\lambda u$ estan alineats, $\mathrm{\forall }u\in {ℝ}^2$, $\mathrm{\forall }\lambda \in K.$
• 0→,u,v i u+v formen un paralelogramo si no estan alineats, ∀u,v∈ℝ2.
  $\overrightarrow{0},u,v$ i $u+v$ formen un paralelogramo si no estan alineats, $\mathrm{\forall }u,v\in {ℝ}^2.$
• Suma de 3 elements.
  Suma de 3 elements.

El subconjunt

$U=\{(a,b):a+b=0\}$.

és un subespacio vectorial.

El subconjunt

$C=\{(a,b):b=a^2\}$

no és un subespacio vectorial.

Vore també

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.
• Base (àlgebra)
• Combinació llineal
• Dependència i independència llineal
• Espai vectorial
• Producte escalar
• Producte vectorial
• Producte mixt
• Sistema generador