Dependència i independència llineal

Vectores linealment independents en $ℝ^{3}$ (en l'espai tridimensional).

Vectores linealment depenents en $ℝ^{2}$ (en el pla).

En àlgebra llineal, es diu que un conjunt de vectorés és linealment independent si cap d'ells pot ser escrit com combinació llineal dels restants.

És dir, si la combinació llineal homogénea (igualada a 0) té únicament una solució, coneguda com la solució trivial, es diu que és linealment independent.

Per eixemple, en $ℝ^{3}$ , el conjunt de vectores ${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$ és linealment independent, mentres que ${(2, - 1, 1), (1, 0, 1), (3, - 1, 2)}$ no ho és, ya que el tercer és la suma dels dos primers.

Definició

Note's que el símbol a la dreta del signe igual no és zero, sino que simbolisa al vector nul $𝟎$ .

La definició anterior també pot estendre's a un conjunt infinit de vectores, concretament un conjunt qualsevol de vectores és linealment depenent si conté un conjunt finito que siga linealment depenent.

Utilisant el concepte de subespacio generat per un conjunt de vectores podem redefinir l'independència llineal aixina:

Un conjunt de vectores $U \subseteq 𝐕 (𝕂)$ és linealment independent si $\forall u \in U, u \notin ⟨ U ∖ {u} ⟩$ .

Esta idea és important perque els conjunts de vectores que són linealment independents, generen un subespacio vectorial i formen una base per a dit subespacio.

Entre les propietats dels vectores linealment depenents i independents trobem:

Un conjunt de vectores és linealment depenent si i solament si algun dels vectores és combinació llineal dels demés.
Si un conjunt de vectores és linealment independent, qualsevol subconjunt seu també ho és.
Si un conjunt de vectores és linealment dependent, també ho és tot conjunt que ho continga.

Significat geomètric

Dos vectores són linealment independents si i només si no tenen la mateixa direcció. En atres paraules, deuen generar un pla (dimensió 2).
Tres vectores són linealment independents si i només si no estan continguts en el mateix pla vectorial. En atres paraules, deuen generar un volum (dimensió 3).
En general, $k$ vectores són linealment independents si i només si generen un subespacio vectorial de dimensió $k$ .

Eixemple

En l'image:

$\vec{𝐮}$ i $\vec{𝐣}$ són depenents per tindre la mateixa direcció.
$\vec{𝐮}$ i $\vec{𝐯}$ són independents i definixen el pla $P$ .
$\vec{𝐮}$ , $\vec{𝐯}$ i $\vec{𝐰}$ són depenents per estar els tres continguts en el mateix pla.
$\vec{𝐮}$ , $\vec{𝐯}$ i $\vec{𝐤}$ són independents per ser-ho $\vec{𝐮}$ i $\vec{𝐯}$ entre sí i no ser $\vec{𝐤}$ una combinació llineal d'ells, o lo que és lo mateix, per no pertànyer al pla $P$ . Els tres vectores generen l'espai tridimensional.

Els vectores $\vec{𝟎}$ (vector nul, les components del qual són iguals a zero) i $\vec{𝐤}$ són depenents ya que $\vec{𝟎} = 0 \cdot \vec{𝐤}$ .

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Dependencia e independencia lineal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.