Base ortonormal

Archiu:Unit vectors qtl2.svg

Base ortonormal del pla euclídeo

En àlgebra llineal, una base ortonormal d'un espai prehilbertiano V (és dir, un espai vectorial en producte intern) o, en particular, d'un espai de Hilbert H, és un conjunt d'elements que el seu span és dens en l'espai, en el que els elements són mútuament ortogonalés i normals, és dir, de magnitut unitària. Una base ortogonal satisfà les mateixes condicions, llevat la de magnitut unitària; és molt senzill transformar una base ortogonal en una base ortonormal per mig del producte per un escalar apropiat i de fet, esta és la forma habitual en la que s'obté una base ortonormal: per mig d'una base ortogonal.

Aixina, una base ortonormal és una base ortogonal, en la qual la norma de cada element que la compon és unitària.

Estos conceptes són importants tant per a espais de dimensió finita com de dimensió infinita. Per a espais de dimensió finita, la condició de span dens és la mateixa que la de 'span', com s'usa en àlgebra llineal.

Una base ortonormal per lo general no és una "base", és dir, en general no és possible escriure a cada element de l'espai com una combinació llineal d'un número finito d'elements de la base ortonormal. En el cas de dimensió infinita, esta distinció cobra importància: la definició donada requerix solament que el generat d'una base ortonormal siga densa en l'espai vectorial, i no que iguale a l'espai sancer.

Una base ortonormal d'un espai vectorial V no té sentit si l'espai no posseïx un producte intern. Un Espai de Banach no tindrà una base ortonormal a no ser que siga un espai de Hilbert.

Definicions

Siga $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ un espai prehilbertiano de dimensió finita n.

Un conjunt de vectores ortonormals que engendren V constituïxen una base per a V, la qual és cridada base ortonormal.

Eixemples

• El conjunt {i₁, i₂, i₃} en és dir la base canònica forma una base ortonormal de ${ℝ}^{\mathrm{𝟛}}$. També pot demostrar-se que la base estàndar, rotada al voltant d'un eix que passa per l'orige, o reflectida en un pla que passa per l'orige, forma també una base ortonormal de R³.

• Archiu:Trigonometric orthonormal basis.png

  Base ortonormal de funcions trigonométricas

  El conjunt {f_n : n ∈ N} en

  
  

  és dir, la successió infinita de funcions

  1, sen(2πx), cos(2πx), sen(4πx), cos(4πx), sen(6πx), cos(6πx), ...

  forma una base ortogonal de l'espai de funcions reals quadrat integrables en l'interval [0, 1].

  Siga a_n : N → {1/2, 1} la successió definida per

  $a_n=\{\begin{array}{cc}1& \text{ si }n=1\\ \frac{1}{2}& \text{ si }n>1\end{array}$

  llavors el conjunt G = {g_n : n ∈ N}, en

  
  

  forma una base ortonormal de dit espai.

• El conjunt {f_n : n ∈ Z} en forma una base ortogonal de l'espai complex L²([0,1]). Est és un resultat fonamental per a l'estudi de séries de Fourier.
• El conjunt {i_b : b ∈ B} en forma una base ortonormal de l²(B).
• Eigenfunciones d'un problema de Sturm-Liouville.