Conjunt infinit

En teoria de conjunts, un conjunt infinit és un conjunt que no és finito. Alguns eixemples són: Els número entero Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} formen un conjunt infinit i numerable. Els punts en una recta, representats per un número real, formen un conjunt infinit i no numerable.

Definició de Propietats

Un conjunt finito A és aquell que té un número finito d'elements, o d'un atre modo, que pot posar-se en correspondència biunívoca en un conjunt del tipo {1, 2, 3, …, n}, a on n és un número natural. Açò significa que podem emparellar els elements de A i els de {1, 2, 3, …, n} sense que sobre cap. Si un conjunt no verifica açò, llavors és infinit:

Un conjunt infinit és un conjunt que no pot posar-se en correspondència biunívoca en cap conjunt {1, 2, 3, ..., n} per a cap número natural n.

Els conjunts infinits posseïxen les següents propietats:

Encara que cap número natural es correspon en el número d'elements d'un conjunt infinit, es poden «contar» la cantitat de dits elements usant números transfinitos. Pot entendre's llavors que els conjunts infinits «més menuts» són els conjunts numerables, com el conjunt dels número natural.

Definició alternativa

El número d'elements d'un conjunt finito és un número natural, i qualsevol dels seus subconjunts és també finito i té menys elements. Un conjunt infinit no obstant pot tindre el mateix tamany que una part de sí mateixa. Per eixemple, el conjunt dels número natural i el conjunt dels número par tenen el «mateix número d'elements», ya que els seus elements poden emparellar-se perfectament:

1, 2, 3, 4, ...

2, 4, 6, 8, ...

i no obstant els número par són un subconjunt dels número natural, {2, 4, 6, ...} &puja; {1, 2, 3, ...}. Existix una definició alternativa de conjunt infinit basada en esta propietat característica:

Un conjunt infinit A és un conjunt que té un subconjunt propi (un que no és el mateix A) en el que pot posar-se en correspondència biunívoca.

Aspectes formals

En teoria de conjunts, les dos definicions presentades per a conjunt infinit (i complementariamente per a conjunt finito) són rigoroses. La primera d'elles es basa en la noció d'número natural, que pot definir-se en precisió com un ordinal menor que qualsevol ordinal llímit. Un conjunt finito és llavors un conjunt equipotente a un número natural:

La segona d'elles va ser proposta històricament per Richard Dedekind, i es basa en la propietat de tindre subconjunts propis tan grans com sí mateix. Per a distinguir-la de l'anterior, es denomina en ocasions de manera distinta:

Tot conjunt Dedekind-infinit és infinit «ordinari», i equivalentemente que tot conjunt finito «ordinari» és Dedekind-finito. No obstant, abdós conceptes no són completament equivalents. L'implicació inversa pot demostrar-se si s'assumix l'axioma d'elecció (AE), o inclús una versió més dèbil com l'axioma d'elecció numerable (AEN). No obstant és impossible provar-la partint únicament del restant de axioma habituals de la teoria de conjunts. Ademés, l'equivalència d'abdós definicions és una propietat més dèbil que AE i AEN: és impossible provar estos últims assumint que tot conjunt infinit és també D-infinit.

Vore també

• Número ordinal (teoria de conjunts)
• Número cardinal

Conjunt finito

Conjunt infinit

Conjunt numerable

Espai compacte

Conjunt no numerable

Hipòtesis del continu

Referències

• Herrlich, Horst (2006). «4.1. Finiteness», Axiom of choice (en anglés), Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-30989-5.
• .