Conjunt numerable

En matemàtiques, un conjunt numerable és un conjunt o ben finito o be del mateix tamany que els número natural. Més concretament, un conjunt es diu que és numerable (o contable) quan és finito o quan existix una biyección entre este conjunt i el conjunt dels número natural.

En 1874 Georg Cantor va introduir el terme conjunt numerable, contrastant conjunts que són contables en els que són incontables. Hui en dia, els conjunts numerables formen la base d'una branca de les matemàtiques cridada matemàtica discreta.

Definició

Un conjunt $S$ és contable si existix una funció inyectiva $f$ des de número natural $ℕ = {1, 2, 3, ...}$ $-$ ya que existix una òbvia biyección entre $ℕ$ i $ℕ^{*} = {0, 1, 2, 3, ...}$ , no existix diferència si es considera el 0 com a natural o si no; en qualsevol cas, este artícul pren la convenció estàndar de la llògica matemàtica, en a on es pren a el $0 \in ℕ$ $-$ a $S$ , és dir, a cada n dels naturals (domini o conjunt de partida) li correspon un element de S (image o conjunt d'arribada) per mig d'una funció $f$ .

\begin{matrix} f : & N & ⟶ & S \end{matrix}

Si la funció $f$ aplega a ser també sobreyectiva (i per lo tant biyectiva), llavors $S$ es diu infinit numerable.

En atres paraules, un conjunt és infinit numerable si té correspondència un a un en el conjunt dels número natural $ℕ$ .

Com es va senyalar anteriorment, esta terminologia no és universal. Alguns autors utilisen contable en el sentit de lo que ací es diu infinit numerable, i no inclouen els conjunts finitos.

Formulació alternatives (equivalents) de la definició en térmens d'una funció biyectiva o una funció sobreyectiva també es pot donar. Vore avall.

Història

En 1874, en la seua primer artícul de la teoria de conjunts, Cantor va demostrar que el conjunt dels número real és incontable, mostrant llavors que no tots els conjunts infinits són numerables.^[1] En 1878 va utilisar les correspondències un a un per a definir i comparar les cardinalidades.^[2] En 1883 va estendre els número natural en els seus ordinals infinits, i va usar conjunts d'ordinals per a produir una infinitat de conjunts tenint diferents cardinalidades infinites.^[3]

Orige del terme

La noció de numerabilidad va ser introduïda per Georg Cantor en un artícul de 1874,^[4] Sobre una propietat del sistema de tots els número algebraico reals^[5] a on establix per una part que el conjunt de número algebraico reals (és dir, el conjunt dels número real que són solució d'alguna equació polinòmica en coeficients racionals) és numerable,^[6] i per una atra que el conjunt de tots els número real no ho és, a partir de la qual cosa deduïx immediatament l'existència de número trascendente o no algebraics, redescubriendo aixina un resultat de Liouville.

El seu orige està lligat a la concepció de l'infinit en matemàtiques. Fins al descobriment de Cantor, l'infinit era l'infinit potencial, la possibilitat de continuar un procés sense detindre's mai. La comparació de conjunts infinits du en si la noció d'infinit alcançat, actual o complet: un conjunt infinit vist com un tot, un concepte que ha segut rebujat per numerosos matemàtics (Gauss, o, en l'época de Cantor, Kronecker, etc.).^[7] Per a ells, el fet de considerar una infinitat d'objectes com un tot, és dir, el concepte de conjunt infinit no té sentit, sino que l'infinit solament pot sorgir del procés d'enumeració sense repetició que mai es deté. Solament l'infinit numerable pot tindre en rigor algun sentit.

Vore també

Notes i referències

↑ (2010).«Roads to Infinity: The Mathematics of Truth and Proof».CRC Press.
↑ Cantor 1878, p. 242.
↑ Ferreirós 2007, pp. 268, 272-273.
↑ i en 1873 en la seua correspondència en Dedekind.
↑ Cantor (1874) Über eine Eigenschaft dones Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262 (vore el centre de numeració de Göttingen ^{[enllaç trencat]}). Disponem de l'orige d'esta demostració, que encara no és la demostració més coneguda que utilisa l'argument diagonal, gràcies a les cartes del 7 i 9 de decembre de 1873 de Georg Cantor a Richard Dedekind.
↑ Demostració de Dedekind, segons la seua correspondència.
↑ Vore per eixemple Kneale and Kneale, The development of Logic Clarendon Press 1962, p 673.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Conjunto numerable» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2010).«Roads to Infinity: The Mathematics of Truth and Proof».CRC Press.

[2] Cantor 1878, p. 242.

[3] Ferreirós 2007, pp. 268, 272-273.

[4] 1873 en la seua correspondència en Dedekind.

[5] Cantor (1874) Über eine Eigenschaft dones Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262 (vore el centre de numeració de Göttingen ^{[enllaç trencat]}). Disponem de l'orige d'esta demostració, que encara no és la demostració més coneguda que utilisa l'argument diagonal, gràcies a les cartes del 7 i 9 de decembre de 1873 de Georg Cantor a Richard Dedekind.

[6] Demostració de Dedekind, segons la seua correspondència.

[7] Vore per eixemple Kneale and Kneale, The development of Logic Clarendon Press 1962, p 673.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]