Funció inyectiva

Funció inyectiva

Eixemple de funció inyectiva no suprayectiva.

En matemàtiques, una funció:

$\begin{array}{cc}f:X& ⟶Y\\ x& ⟼f(x)\end{array}$

és inyectiva o un a un si a elements distints del conjunt $X$ (domini) els corresponen elements distints en el conjunt $Y$ (codominio) de $f$, és dir, cada element del conjunt $Y$ té com a molt una preimagen en $X$, o, lo que és lo mateix, en el conjunt $X$ no pot haver dos o més elements que tinguen la mateixa image.

Per eixemple, la funció

$\begin{array}{cc}f:ℝ& \to ℝ\\ x& \mapsto x^2\end{array}$

no és inyectiva puix el valor 4 pot obtindre's com $f(2)$ i $f(-2)$ pero si el domini es restringix als número real positius (obtenint aixina una nova funció $g:{ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}$) llavors sí s'obté una funció inyectiva.

Definició

Siga $f$ una funció el domini de la qual és el conjunt $X$, es diu que la funció $f$ és inyectiva si para tot $a$ i $b$ en $X$, si $f(a)=f(b)$ llavors $a=b$, açò és $f(a)=f(b)$ implica $a=b$. Equivalentement, si $a\ne b$ llavors $f(a)\ne f(b)$. Simbòlicament,

$\mathrm{\forall }a,b\in X,f(a)=f(b)⟹a=b$

que és equivalent al seu contrarrecíproco

$\mathrm{\forall }a,b\in X,a\ne b⟹f(a)\ne f(b)$

Per a provar que una funció no és inyectiva, n'hi ha prou en trobar dos valors distints del domini, les imàgens del qual en el codominio són iguals.

Eixemples

• Per a qualsevol conjunt $X$ i subconjunt $S\subseteq X$, el mapa d'inclusió $S\to X$ (el qual envia qualsevol element $s\in S$ a sí mateixa) és inyectiva. En particular, la funció identitat $X\to X$ és sempre inyectiva (i de fet biyectiva).
• La funció $h:ℝ\to ℝ$ definida per $h(x)=x^3$ és inyectiva.
• La funció $f:ℝ\to ℝ$ definida per $f(x)=2x+1$ és inyectiva.
• La funció $g:ℝ\to ℝ$ definida per $g(x)=x^2$ no és inyectiva perque (per eixemple) $g(1)=1=g(-1)$. No obstant, si $g$ es redefinix de manera tal que el seu domini és el conjunt dels número real no negatius $[0,+\mathrm{\infty })$ llavors $g$ és inyectiva.
• La funció exponencial $\exp :ℝ\to ℝ$ definida per $\exp (x)=e^x$ és inyectiva (pero no sobreyectiva, perque no genera números negatius, els quals no tenen relació en cap valor de x).
• La funció logaritmo natural $\ln :(0,+\mathrm{\infty })\to ℝ$ definida per $x\mapsto \ln x$ és inyectiva.
• La funció $g:ℝ\to ℝ$ definida per $g(x)=x^n-x$ no és inyectiva, ya que $g(0)=g(1)=0$.

Si $X$ i $Y$ són subconjunts de $ℝ$, geomètricament, una funció $f:X\to Y$ és inyectiva si la seua gràfica mai és intersectada per una recta horisontal més d'una volta. Este principi és conegut com la prova de la llínea horisontal.

Vore també

• Funció biyectiva
• Funció sobreyectiva
• Correspondència matemàtica
• Pugs