Varietat diferenciable

En geometria i topología, una varietat diferenciable és un tipo especial de varietat topològica, a la que podem estendre les nocions de càlcul diferencial que normalment usem en $ℝ^{n}$ . En una varietat diferenciable M podrem definir una funció diferenciable $f : M \to ℝ$ , i camps de tensors diferenciables (inclosos camps de vectores). L'estudi del càlcul en varietats diferenciables es coneix com geometria diferencial.

Introducció

Per a un desenroll informal del tema

Vore també: Varietat (matemàtica)

Generalisació dels conceptes de curva i superfície

Una varietat diferenciable representa una generalisació, en dos aspectes bàsics, del concepte de superfície diferenciable:

Supon la generalisació a qualsevol número de dimensions. En dimensió 1, una varietat és una curva. En dimensió 2, una superfície seria un eixemple de varietat.
Supon una atra generalisació en intentar definir una varietat de modo intrínsec. Per eixemple, una curva o una superfície solen descriure's embebidas en un espai ambiente R³, pero podrien descriure's sense fer alusió a ell. És més, existixen casos de varietats de dimensió 2 que no podran vore's embebidas en un espai euclídeo de dimensió 3 (pero sí de dimensió superior).

Abans de fer la segona generalisació, podríem pensar que una varietat és diferenciable, informalmente parlant, si cada u dels seus punts té espai tangente, és dir, no té "picos" ni "talls". Pero per a fer una definició formal necessitarem que esta no faça alusió a un possible embebimiento de la varietat en un espai ambiente.

Una miqueta d'història

Riemann, en el XIX, va observar l'importància de definir la noció de varietat d'un modo intrínsec, sense requerir que l'espai topològic subjacent estiguera embebido en un espai afí. La definició formal precisa va ser introduïda per primera volta per Hermann Weyl en 1913.

Les varietats diferenciables apareixen en diversos camps de la Física:

En relativitat general, l'espai (de dimensió 3) i el temps formen una varietat de dimensió 4 cridada espai-temps.
Moltes teories modernes, com la teoria de cordes, operen en una varietat de dimensió major que 4.
En mecànica clàssica, per a descriure la situació d'un sòlit rígit en l'espai es necessiten 6 paràmetros (3 que descriguen la posició del seu centre de masses i atres 3 que corresponen als graus de llibertat rotacional). Una situació concreta d'un sòlit quedarà descrita com un punt en una varietat diferenciable de dimensió 6, que es denomina espai de configuració del sòlit rígit.

Conceptes previs de varietats topològiques

Recordem els conceptes de varietat topològica i de cartes:

Una varietat topològica de dimensió $n \geq 0$ és un espai topològic $M$ (que sol supondre's Hausdorff i ANII) en el que para cada $p \in M$ existix un entorn obert $U_{p} \subset M$ homeomorfo a un obert de $ℝ^{n}$ per mig de $φ_{p} : U_{p} ⟶ V_{p} \subset ℝ^{n}$ .
Un parell $(U_{p}, φ_{p})$ baixe estes condicions es denomina carta o sistema coordenado sobre $M$ per a $p$ , i l'aplicació $φ_{p}$ es denomina aplicació coordenada per a $p$ .
Cada aplicació coordenada es podrà desglossar com un conjunt de n funciones coordenades $(x_{1}, \dots, x_{n})$ : en efecte, si per a cada $j \in {1, ..., n} \subset ℤ$ convenim en representar per $r_{j}$ a la funció $r_{j} : ℝ^{n} ⟶ ℝ$ que a cada $q = (q_{1}, ..., q_{n}) \in ℝ^{n}$ li fa correspondre $r_{j} (q) = q_{j}$ (és dir, la $j$ -ésima coordenada de $q$ ), denominarem a l'aplicació $x_{j} = r_{j} \circ φ_{p}$ com la funció coordenada per a $p$ .

Podríem qüestionar-nos cóm seria possible determinar si una funció $f : M \to ℝ$ definida en una varietat topològica és una funció diferenciable. Aparentment bastaria exigir que $f \circ φ_{α}^{- 1}$ , la seua expressió en un entorn coordenado siga diferenciable. Pero esta condició no seria consistent si realisem un canvi de carta. En efecte, si observem la seua expressió en una atra carta:

f \circ φ_{β}^{- 1} = f \circ (φ_{α}^{- 1} \circ φ_{α}) \circ φ_{β}^{- 1} = (f \circ φ_{α}^{- 1}) \circ (φ_{α} \circ φ_{β}^{- 1})

,

necessitarem per a mantindre la consistència que el canvi de cartes representat per l'últim paréntesis siga diferenciable. Esta exigència és la base de la definició d'estructura diferenciable.

Definició

Estructura diferenciable

Donada una varietat topològica $M$ i un número entero $r \geq 0$ , una estructura diferenciable (o atles maximal) $F$ de classe $r$ sobre $M$ és una família ${(U_{λ}, φ_{λ}) : λ \in Λ}$ de sistemes coordenados sobre $M$ de manera que es complixca que:

$U_{λ}$ recobrix M, és dir, $⋃_{λ \in Λ} U_{λ} = M$ ,
donats dos qualssevol $α, β \in Λ$ ha d'ocórrer que l'aplicació $φ_{β} \circ φ_{α}^{- 1} |_{φ_{α} (U_{α} \cap U_{β})} : φ_{α} (U_{α} \cap U_{β}) ⟶ φ_{β} (U_{α} \cap U_{β})$ , cridada canvi de cartes siga diferenciable d'orde $r$ .
$F$ és maximal (relatiu a l'orde donat per l'inclusió de conjunts) entre totes les famílies d'entorns coordenados sobre $M$ baixe les condicions 1 i 2.

Varietat diferenciable

Es diu que el parell $(M, F)$ format per la varietat topològica M de dimensió n i per l'estructura diferenciable F de classe r és una varietat diferenciable de dimensió $n$ i classe $r$ .

Hi ha una certa confusió sobre la terminologia varietat diferenciable (sense més especificacions) i varietat suau. En qualsevol cas, per a evitar confusions, tots els texts indiquen qué entenen per varietat diferenciable.

Subvariedad diferenciable

És qualsevol subconjunt d'una varietat diferenciable que per mig de la topología induïda de la varietat original seguix tenint estructura de varietat diferenciable. En general les subvariedades diferenciables són els subconjunts de punts per als quals és possible definir localment una funció diferenciable f que satisfaça:

Els conjunts no suaus, o que satisfent una equació similar a l'anterior pero a on f no fora diferenciable en general no constituïxen subvariedades diferenciables.

Referències

Bibliografia

William M. Boothby, An Introduction to Differenciable Manifolds and Riemannian Geometry, 2nd ed. Sant Diego: Academic Press, 1986.
Carmo, M. do, Riemannian Geometry. Boston: Birkhäuser, 1993.
Currás Bosch, C. Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 2003.
Girbau, J. Geometria diferencial i relativitat. Bellaterra: Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona,1993.
Hicks, N. J. Notes sobre la geometria diferencial. Barcelona: Hispà Europea, 1973.
Kobayashi, S., Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry, vol. I. New York [etc.] : Interscience, 1963.
Spivak, M. A. Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Boston [Mass.]: Publish or Perish, 1970-1975.

Volum I,II,IV.

Warner, F. W. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. New York : Springer, 1983.

John M. Llig, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
Roger Penrose: El camí de la realitat, Ed. Debat, Barcelona, 2006, p. 464, ISBN 84-8306-681-5.
Spivak, Michael, Càlcul en varietats. Reverté (1988), ISBN 84-291-5142-7
Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry,volume I, Publish or Perish, Inc, Houston, Texas, 1999, ISBN 0-914098-87-X.

Este artícul conté una traducció derivada de «Variedad diferenciable» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.