Curva

Curva

Elipse

Una curva algebraica: el Folium de Descartes
x³ + i³ − 3axy = 0, a = 1

En matemàtica (inicialment estudiat en geometria elemental i, de forma més rigorosa, en geometria diferencial), la curva (o llínea curva) és una llínea contínua d'una dimensió, que varia de direcció paulatinament. Eixemples senzills de curves tancades simples són l'elipse, la circumferència, l'óval o la cicloide; eixemples de curves obertes, la paràbola, la hipérbola i la catenària i una infinitat de curves estudiades en la geometria analítica plana. La recta assumix el cas llímit d'una circumferència de ràdio de curvatura infinit i de curvatura 0. Ademés, una recta és l'image homeomorfa d'un interval obert. Totes les curves tenen dimensió topològica igual a 1. La noció de curva, conjuntament en la de superfície, és un dels objectes primordials de la geometria diferencial, certament en profusa aplicació de les ferramentes del càlcul diferencial.

Història i definicions

Cronologia

Any	Acontenyiment
300 a. C.	Euclides definix les seccions còniques
250 a. C.	Arquímedes investiga les curves espiralés.
225 a. C.	Apolonio de Perge publica Còniques.
1704	Isaac Newton classifica les curves cúbiques.
1890	Giuseppe Peano aplicant la definició de Jordán, demostra que una quadrada farcidura també és una curva.
Década de 1920	Pável Urysón i Karl Menger definixen el concepte de curva a partir de la topología.

Camille Jordan (1838-1922) va propondre una teoria sobre les curves basada en la definició d'una curva en térmens de punts variables (vore teorema de la curva de Jordan). En geometria, una curva en el n-espai euclidiano és un conjunt $𝒞\subset {ℝ}^n$ que és l'image d'un interval Ι obert baix una aplicació contínua $𝐱:\mathrm{I}\to {ℝ}^n$, és dir:

a on sol dir-se que ($𝐱,\mathrm{I}$) és una representació paramètrica o parametrización de $𝒞$.

Curva, en el pla o en l'espai tridimensional, és l'image d'un camí γ, que es considera en derivada contínua a trossos en l'interval de definició .

Métodos d'expressió d'una curva plana

En coordenades cartesianas

1. En forma implícita… $F(x,y)=0$ Eixemple $\sqrt{x^2+y^2}=e^{xy}$
2. En forma explícita… $y=f(x)$. Eixemple: $y=\frac{3x^2+5x-7}{x^2}$ funció racional.
3. En forma paramètrica .. . $x=x(t),y=y(t)$ Eixemple: $x=a\cdot lnt,y=\frac{a}{2}(2t+\frac{3}{t+1})$ paramétro : t.

En coordenades polars

$\rho =f(\varphi )$… Eixemple: $\rho =a\cdot \varphi$. Espiral de Arquímedes

Curva elemental

Un conjunt $\gamma$ de punts de l'espai es denominarà curva elemental si és l'image obtinguda en l'espai per una aplicació topològica d'un segment obert de recta.

Siga γ una curva elemental i siga a < t < b el segment obert del que s'obté l'aplicació f de la curva corresponent al punt t del segment. El sistema d'igualtats

$x=f_1(t),y=f_2(t),z=f_3(t)$

constituïxen equacions de la curva $\gamma$ en forma paramètrica.

Curva simple

La curva, segons esta definició, poden ser molt intrincadas, de molt divers tipo. En l'objectiu d'evitar auto interseccions, punts singulars i als extrems, es definix el concepte de curva simple com aquella curva tal que para tot punt p existix un Ω entorn obert de p per al qual $\Omega \cap 𝒞$ admet una representació de classe $C^k$ en $k\ge 1$.

La definició de Jordan ha segut qüestionada a partir del descobriment de l'italià Giuseppe Peano. Este matemàtic va demostrar en 1890 que una quadrada farcidura entra dins de la definició de Jordan, puix va conseguir representar tots els punts del mateix utilisant dita definició: va traçar tots els punts del quadrat en una única curva. Pero és clar que un quadrat no és, en el sentit convencional del terme, una curva. Debido a ello, i al descobriment posterir d'atres casos similars als de Peano, s'ha plantejat la necessitat de millorar la definició de la definició de lo que és, matemàticament, una curva.

Un conjunt $\delta$ de punts de l'espai es denominara curva simple si és conjunt conexo i si para tot punt $W$ del mateix existix un entorn tal que la part de $\delta$, compresa en ell, forma una curva elemental.

Curva plana

Archiu:RootAndPowerFunctions.svg

En un sistema de coordenades cartesianas s'han representat les curvas d'algunes raïls, aixina com de les seues potencies, en l'interval [0,1]. La diagonal, d'equació i = x, és eix de simetria entre cada curva i la curva de la seua inversa.

Una curva plana és aquella que residix en un sol pla i pot ser oberta o tancada. La representació gràfica d'una funció real d'una variable real és una curva plana.

Curva diferenciable

Una curva es diu diferenciable quan la funció $𝐱:[a,b]\subset \mathrm{I}\to {ℝ}^n$ és diferenciable. Si ademés la funció anterior és inyectiva en l'interval $(a,b)$ llavors la curva admet un vector tangente únic en cada punt i és rectificable (la qual cosa significa que el seu llongitut d'arc està ben definida i és possible calcular la seua llongitut. La curva $𝐱:[0,\mathrm{\infty })\to {ℝ}^n$ :

és contínua pero no diferenciable, per lo que la seua llongitut entre el punt (0,0) i qualsevol atre punt de la mateixa no pot calcular-se.

Curva tancada

Una curva diferenciable és tancada quan $𝐱:[a,b]\to {ℝ}^n$ quan $𝐱(a)=𝐱(b)$. Si ademés, la funció $𝐱$ és inyectiva en l'interval $(a,b)$ llavors es diu que la curva és una curva tancada simple. Una curva tancada simple és homeomorfa al círcul $S^1$, és dir, té la mateixa topología d'un anell. La curva $𝐱:[0,1]\to {ℝ}^n$ donada per:

és una curva diferenciable tancada, de fet dita curva resulta ser una elipse de semiejes a i b.

Es diu curva tancada a aquella curva simple homeomorfa en una circumferència. Es diu entorn d'un punt W d'una curva simple δ la part comuna de la curva δ i un entorn espacial del punt W. Per tant , tot punt d'una curva simple posseïx un entorn que conforma una curva elemental.

Curva suau

Archiu:Cicloide.svg

Cicloide

Se li crida curva suau a la curva que no posseïx punts angulosos. Un eixemple pot ser el círcul, l'elipse, la paràbola, etc. Una curva que no és suau pot ser, per eixemple, una cicloide.

Formalment, donada una curva C representada per l'equació paramètrica:

$\{\begin{array}{c}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}$

en un interval I qualsevol, és suau si els seus derivadas són contínues en l'interval I i no són simultàneament nules, llevat possiblement en els punts terminals de l'interval.

Suau per parts

Una curva C és suau per parts si és suau en tot interval d'alguna partició d'I, és dir que l'interval pot dividir-se en un número finito de subintervalos, en cada u dels quals C és suau.

Vore també

• Curva en l'espai
• Tangente (geometria)
• Geometria analítica
• Teorema de la funció implícita
• Funció diferenciable
• Derivada
• Geometria diferencial de curves