Equació de tercer grau

Una equació algebraica de tercer grau o equació cúbica en una incògnita és una equació polinòmica de grau tres^[1] que es pot posar baix la forma canònica:

A on a, b, c i d (en a ≠ 0) són números que pertanyen a un cos, el cos dels número real o el dels número complejo, encara que en freqüència són número racional.^[2]^[3]

Història

Les equacions cúbiques eren conegudes pels antics babilonios, grecs, chinencs, indis i egipcíacs.^[4]^[5]^[6] S'han trobat tabletas cuneïformes en taules per a calcular gavetes i raïls cúbiques, datades en l'imperi babilònic (sigles XX a XVI a. C.).^[7]^[8] Els babilonios podrien haver usat les taules per a resoldre equacions cúbiques, pero no existix evidència per a confirmar que ho feren realment.^[9] El problema de la duplicació de la gaveta involucra l'equació cúbica més simple i més antiga estudiada, per a la que els antics egipcíacs no creïen que existira una solució.^[10] En el V, Hipócrates va reduir este problema en trobar dos miges proporcionals entre un segment i un atre de dos voltes la seua llongitut, pero no ho va poder resoldre solament en regla i compàs,^[11] una tasca que, ara se sap, és impossible.

Métodos per a resoldre equacions cúbiques apareixen en el Jiuzhang Suanshu, un text matemàtic chinenc compilado al voltant de el II, comentat per Liu Hui en el III.^[5] En el III, el matemàtic grec Diofanto d'Aleixandria va trobar solucions sanceres o racionals per a algunes equacions de tercer grau i dos variables (equacions diofánticas cúbiques).^[6]^[12] Hipócrates de Quíos, Menecmo i Arquímedes es varen acostar a resoldre el problema de duplicar la gaveta usant intersecció de curves còniques,^[11] encara que historiadors com Reviel Netz discutixen si els grecs varen aplegar a abordar les equacions cúbiques generals, o si solament consideraven problemes concrets. Alguns atres, com T. L. Heath, que va traduir tots els treballs d'Arquímedes, no estan d'acort i presenten evidències de que Arquímedes realment va resoldre equacions cúbiques usant interseccions de dos còniques, i que també va discutir les condicions en les que les raïls són 0, 1 o 2.^[13]

En el VII, l'astrònom i matemàtic de la dinastia Tang, Wang Xiaotong, en el seu tractat matemàtic titulat Jigu Suanjing, va establir i va resoldre numèricament de forma sistemàtica 25 equacions cúbiques de la forma $x 3 + px 2 + qx = N$ , 23 d'elles en $p, q \neq 0$ i dos d'elles en $q = 0$ ....

En el XI, el poeta-matemàtic persa, Omar Jayam (1048-1131), va realisar un progrés significatiu en la teoria de les equacions cúbiques. En un text antic, va descobrir que una equació cúbica pot tindre més d'una solució i va declarar que no es pot resoldre utilisant solament la regla i el compàs. També va trobar una solució geomètrica.^[14]^[15] En el seu treball posterior, el "Tractat sobre la demostració de problemes d'àlgebra", va escriure una classificació completa d'equacions cúbiques en solucions geomètriques generals trobades per mig de l'intersecció de seccions còniques.^[16]^[17]

En el XII, el matemàtic indi Bhaskara II va intentar trobar la solució general d'equacions cúbiques sense èxit. No obstant, va donar un eixemple d'una equació cúbica: $x 3 + 12 x = 6 x 2 + 35$ .^[18] En el XII, un atre matemàtic persa, Sharaf al-Din al-Tusi (1135–1213), va escriure el Al-Muʿādalāt (Tractat sobre equacions), en el que va descriure huit tipos d'equacions cúbiques en solucions positives i cinc tipos d'equacions cúbiques que poden no tindre solucions positives. Va utilisar lo que després es coneixeria com el "método de Ruffini-Horner" per a aproximar numèricament les raïls d'una equació cúbica. També va utilisar els conceptes d'extrems d'una funció per a resoldre equacions cúbiques que poden no tindre solucions positives,^[19] i va entendre l'importància del discriminante de l'equació cúbica per a trobar solucions algebraiques per a certs tipos d'equacions cúbiques.^[20]

En el seu llibre "Flos", Leonardo de Pisa, també conegut com Fibonacci (1170–1250), va poder aproximar la solució positiva de l'equació cúbica $x 3 + 2 x 2 + 10 x = 20$ . Escrivint en numeració sexagesimal va donar el resultat com 1,22,7,42,33,4,40 (equivalent a 1 + 22/60 + 7/60² + 42/60³ + 33/60⁴ + 4/60⁵ + 40/60⁶), que té un error d'aproximació de l'orde de 10⁻⁹.^[21]

A principis de el XVI, el matemàtic italià Scipione del Ferro (1465-1526) va trobar un método per a resoldre una classe d'equacions cúbiques, a saber, les de la forma $x 3 + mx = n$ . De fet, totes les equacions cúbiques es poden reduir a esta forma si es permet que $m$ i $n$ siguen negatives, pero per llavors es desconeixien els números negatius. Del Ferro va mantindre el seu guany en secret fins a just abans de la seua mort, quan li'l va revelar al seu estudiant Antonio Maria Del Fiore.

En 1530, Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1557) va rebre dos problemes en equacions cúbiques remesos per Zuanne dona Coi i va anunciar que podia resoldre'ls. Pronte va ser desafiat per Antonio Fiore, lo que va dur a un famós concurs disputat entre els dos en 1535. Cada concursant tenia que aportar una certa cantitat de diners i propondre una série de problemes per a que el seu rival els resolguera. Qui resolguera més problemes en 30 dies obtindria tots els diners. Tartaglia va rebre preguntes en la forma $x 3 + mx = n$ , equacions per a les que havia elaborat un método general. Fiore va rebre preguntes en la forma $x 3 + mx 2 = n$ , que varen resultar ser massa difícils de resoldre per a ell, i Tartaglia va guanyar el concurs.

Posteriorment, Tartaglia va ser persuadit per Gerolamo Cardano (1501–1576) per a que li revelara el seu método secret de resoldre equacions cúbiques. En 1539, Tartaglia ho va fer solament en la condició de que Cardano mai ho revelara i de que si escrivia un llibre sobre cúbiques, li donaria temps a Tartaglia per a publicar el seu descobriment. Alguns anys despuix, Cardano es va enterar de l'existència del treball anterior de Scipione del Ferro, i va publicar el método d'este últim en el seu llibre Ars Magna en 1545, lo que significava que Cardano li concedira a Tartaglia sis anys per a publicar els seus resultats (en crèdit otorgat a Tartaglia per una solució independent). La promesa de Cardano a Tartaglia dia que no publicaria el treball de Tartaglia, pero Cardano va defendre que estava publicant el procediment de De el Ferro, justificant aixina evitar complir la seua promesa. No obstant, Tartaglia va reptar a Cardano a un concurs matemàtic, a lo que este es va negar. El desafiu va ser finalment acceptat per l'estudiant de Cardano Lodovico Ferrari (1522-1565). Ferrari ho va fer millor que Tartaglia en la competició, i Tartaglia va perdre tant el seu prestigi com els seus ingressos.^[22]

Cardano va notar que el método de Tartaglia a voltes requeria que extraguera la raïl quadrada d'un número negatiu. Inclús va incloure un càlcul en estos número complejo en el seu Ars Magna, pero realment no ho va entendre. Rafael Bombelli va estudiar este tema en detalle^[23] i per lo tant, a sovint se li considera el descobridor dels número complejo.

François Viète (1540–1603) va obtindre de forma independent la solució trigonométrica per a l'equació cúbica en tres raïls reals, i René Descartes (1596–1650) va ampliar el treball de Viète.

Funció cúbica

La funció cúbica és una funció polinòmica de tercer grau. S'escriu de la següent manera:

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

a on els coeficients són número racional i sempre a és distint de 0.^[24]

Tant el domini de definició com el conjunt image d'estes funcions tenen com a elements als número real.

La derivada d'una funció cúbica és una funció quadràtica i la seua integral, una funció cuártica.

Equació cúbica

L'equació cúbica és l'equació que resulta d'igualar a zero la funció cúbica, i té la forma canònica:

a on a, b, c i d (a ≠ 0) són números que pertanyen a un anell (sancers) o camp, usualment el camp dels número real o el dels número complejo. Les solucions estan generalment en un cos que inclou a l'anell dels coeficients.^[25]

Discriminante

Resulta important i al mateix temps essencial obtindre propietats elementals dels polinomis com a ferramentes d'anàlisis en els resultats segons els valors dels seus coeficients. Qualsevol equació cúbica (1) en coeficients reals té a lo manco una solució x sobre els número real; esta és una conseqüència del teorema del valor intermig. Es poden distinguir varis possibles casos, usant per a això el discriminante,

Δ = 18 a b c d - 4 b^{3} d + b^{2} c^{2} - 4 a c^{3} - 27 a^{2} d^{2} .

Els següents casos necessiten ser considerats:^[26]

Si $Δ > 0$ , llavors l'equació té tres raïls reals distintes.
Si $Δ = 0$ , llavors l'equació té raïls múltiples i totes les seues raïls són reals (pot ser una raïl triple o una doble i una atra simple).
Si $Δ < 0$ , llavors l'equació té una raïl real i dos raïls complexes -no reals- conjugades.

Vore també

Referències

↑ Kurosch, Curs de Álbebra Superior
↑ Leithold, Àlgebra Superior.
↑ Hall and Knigt: Algebra Superior
↑ (1992).«Amphora: Festschrift for Hans Wussing on the Occasion of his 65th Birthday».Birkhäuser.
315–358.doi:10.1007/978-3-0348-8599-7_16.
↑ ^5,0 ^5,1 Crossley, John (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary, Oxford University Press, p. 176. ISBN 978-0-19-853936-0.
↑ ^6,0 ^6,1 Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
↑ Cooke, Roger. The History of Mathematics, John Wiley & Sons, p. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
↑ Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia, Greenwood Publishing Group, p. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.
↑ Cooke, Roger (2008). Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses, John Wiley & Sons, p. 64. ISBN 978-0-470-27797-3.
↑ Guilbeau (1930, p. 8) indica que "els egipcíacs varen considerar la solució impossible, pero els grecs varen aplegar molt prop d'una solució."
↑ ^11,0 ^11,1 Guilbeau (1930, pp. 8–9)
↑ Heath, Thomas L.. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra, Martino Pub, pp. 87–91. ISBN 978-1578987542.
↑ Archimedes. The works of Archimedes, Translation by T. L. Heath, Rough Draft Printing. ISBN 978-1603860512.
↑ A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337
↑ In Plantilla:Obra citada/núcleo. es diu: Este problema a la seua volta va dur a Khayyam a resoldre l'equació cúbica $x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000$ , de la que va trobar una raïl positiva en considerar l'intersecció d'una hipérbola equilátera i un círcul. Més alvance es va trobar una solució numèrica aproximada per interpolació en taules trigonométricas. El més alvance en l'última afirmació és erròneu, i deuria ser reemplaçat per un també. La construcció geomètrica va ser perfectament adequada per a Omar Jayam, ya que el problema es reduïa a la resolució de la citada construcció geomètrica. Al final del seu treball, solament indica que "per a este problema geomètric, si les aproximacions són suficients, es pot obtindre una solució més simple consultant taules trigonométricas". Textualment, afirma: "Per a que qui busca una solució quede satisfet en una estimació, depén d'ell mirar en la taula de cordes de Almagesto, o en la taula de sens i sens versats de l'Observatori Mothmed". A continuació afig una breu descripció d'este método alternatiu (en atres sèt llínees).
↑ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam, MacTutor History of Mathematics archive, states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."
↑ Guilbeau (1930, p. 9) states, "Omar A l'Hi ha of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."
↑ (2004).«History of Hindu Mathematics: A Source Book».Bharattya Kala Prakashan.Delhi, Índia:2
↑ Plantilla:Obra citada/núcleo.
↑ (1990).«Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt».Journal of the American Oriental Society.110(2)
304–309.doi:10.2307/604533.
↑ Plantilla:Obra citada/núcleo.
↑ Katz, Victor (2004). A History of Mathematics, Boston: Addison Wesley, p. 220. ISBN 9780321016188.
↑ (2002).«Reading Bombelli».The Mathematical Intelligencer.24(1)
12–21.doi:10.1007/BF03025306.
↑ Àlgebra de Pontriaguin
↑ Kurosch: Àlgebra superior, Editorial Mir, Moscu, vàries impressions.
↑ , Chapter 10 ex 10.14.4 and 10.17.4, pp. 154–156

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuación de tercer grado» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Kurosch, Curs de Álbebra Superior

[2] Leithold, Àlgebra Superior.

[3] Hall and Knigt: Algebra Superior

[4] (1992).«Amphora: Festschrift for Hans Wussing on the Occasion of his 65th Birthday».Birkhäuser.
315–358.doi:10.1007/978-3-0348-8599-7_16.

[oxf-5] 5,0 ^5,1 Crossley, John (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary, Oxford University Press, p. 176. ISBN 978-0-19-853936-0.

[wae-6] 6,0 ^6,1 Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5

[7] Cooke, Roger. The History of Mathematics, John Wiley & Sons, p. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.

[nen-8] Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia, Greenwood Publishing Group, p. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.

[co-9] Cooke, Roger (2008). Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses, John Wiley & Sons, p. 64. ISBN 978-0-470-27797-3.

[10] Guilbeau (1930, p. 8) indica que "els egipcíacs varen considerar la solució impossible, pero els grecs varen aplegar molt prop d'una solució."

[Guilbeau-11] 11,0 ^11,1 Guilbeau (1930, pp. 8–9)

[12] Heath, Thomas L.. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra, Martino Pub, pp. 87–91. ISBN 978-1578987542.

[13] Archimedes. The works of Archimedes, Translation by T. L. Heath, Rough Draft Printing. ISBN 978-1603860512.

[14] A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337

[15] In Plantilla:Obra citada/núcleo. es diu: Este problema a la seua volta va dur a Khayyam a resoldre l'equació cúbica $x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000$ , de la que va trobar una raïl positiva en considerar l'intersecció d'una hipérbola equilátera i un círcul. Més alvance es va trobar una solució numèrica aproximada per interpolació en taules trigonométricas. El més alvance en l'última afirmació és erròneu, i deuria ser reemplaçat per un també. La construcció geomètrica va ser perfectament adequada per a Omar Jayam, ya que el problema es reduïa a la resolució de la citada construcció geomètrica. Al final del seu treball, solament indica que "per a este problema geomètric, si les aproximacions són suficients, es pot obtindre una solució més simple consultant taules trigonométricas". Textualment, afirma: "Per a que qui busca una solució quede satisfet en una estimació, depén d'ell mirar en la taula de cordes de Almagesto, o en la taula de sens i sens versats de l'Observatori Mothmed". A continuació afig una breu descripció d'este método alternatiu (en atres sèt llínees).

[16] J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam, MacTutor History of Mathematics archive, states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."

[17] Guilbeau (1930, p. 9) states, "Omar A l'Hi ha of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."

[18] (2004).«History of Hindu Mathematics: A Source Book».Bharattya Kala Prakashan.Delhi, Índia:2

[19] Plantilla:Obra citada/núcleo.

[20] (1990).«Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt».Journal of the American Oriental Society.110(2)
304–309.doi:10.2307/604533.

[21] Plantilla:Obra citada/núcleo.

[22] Katz, Victor (2004). A History of Mathematics, Boston: Addison Wesley, p. 220. ISBN 9780321016188.

[Bombelli-23] (2002).«Reading Bombelli».The Mathematical Intelligencer.24(1)
12–21.doi:10.1007/BF03025306.

[24] Àlgebra de Pontriaguin

[25] Kurosch: Àlgebra superior, Editorial Mir, Moscu, vàries impressions.

[26] , Chapter 10 ex 10.14.4 and 10.17.4, pp. 154–156

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]