Raïl d'una funció

Si busca la raïl enèsima d'un número, veja Funció raïl.

ƒ(x)=cosx en l'interval [-2π,2π], les interseccions en l'eix x de les coordenades cartesianas (les raïls) estan indicades en roig: -3π/2, -π/2, π/2, 3π/2.

En matemàtica, es coneix com a raïl d'un polinomi o zero d'una funció (definida sobre un cert cos algebraic) f(x) a tot element x pertanyent al domini de dita funció tal que es complixca:

Per eixemple, donada la funció:

Plantejant i resolent l'equació:

Es té que 2 i 4 són raïls (vore equació de segon grau) ya que f(2) = 0 i f(4) = 0.

Busca de raïls

Donat el cas de que tant el domini com l'image de la funció siguen els número real (denominades funcions reals) llavors els punts en els que el gràfic talla a l'eix de les abscisses és una interpretació gràfica de les raïls de dita funció. El teorema fonamental de l'àlgebra determina que tot polinomi en una variable complexa i de grau n té n raïls (contant les seues multiplicitatés). Aixina i tot, Les raïls dels polinomis reals no són necessàriament reals; algunes d'elles, o inclús totes, poden ser complexes. Una funció transcendent com per eixemple $\sin (x)$ posseïx una infinitat de raïls, concretament qualsevol $x_n=n\pi ,n\in \mathbb{Z}$ és raïl d'eixa funció. En canvi la funció $e^z$ no s'anula mai sobre els número complejo. El número de raïls d'una funció holomorfa o una funció analítica és un conjunt numerable sense punts d'acumulació. Un dels problemes no resolts més interessants de la matemàtica moderna és trobar les raïls de la funció zeta de Riemann. La resolució numèrica d'equacions no llineals és l'utilisació d'un método numèric per a trobar raïls d'una funció de manera aproximada.

Raïls simples i múltiples

Donada una funció f que té una raïl r llavors es pot escriure dita funció com:

Llavors es diu que: La raïl és simple si $f_1(r)\ne 0$ La raïl és múltiple si $f_1(r)=0$, en este últim cas la raïl es diu d'orde n, sent $n>1$, quan es pot escriure:

En la definició anterior, poden existir zeros múltiples d'orde no finito. Per eixemple la funció definida com:

Té un zero múltiple en x=0, ya que:

Com a n pot prendre's tan gran com es vullga en l'expressió anterior, se seguix que eixa funció no té un zero d'orde finito.