Resolució numèrica d'equacions no llineals

En anàlisis numèric un algoritme de busca de raïls és un método numèric o algorítmic per a trobar les solucions aproximades d'una equació donada per l'expressió f(x) = 0 per a una funció matemàtica f donada. A la solució x de l'equació se li crida raïl o zero de la funció.

Igualment, resoldre l'equació f(x) = g(x) és anàlec a resoldre l'equació f − g = 0, és dir, trobar les raïls de la funció f - g.

Este artícul tracta sobre cóm trobar raïls reals o complexes, aproximades per números de punt flotant.

Els métodos numèrics de resolució d'equacions no llineals solen ser métodos iterativos que produïxen una successió de valors aproximats de la solució, que s'espera, que convergixca a la raïl de l'equació. Estos métodos van calculant les successives aproximacions sobre la base dels anteriors, a partir d'una o vàries aproximacions inicials.

El comportament dels algoritmes de busca de raïls s'estudia en anàlisis numèric. Funcionen millor quan es prenen en conte les característiques de la funció. Per a saber que método devem aplicar, cal tindre en conte la capacitat de separar raïls propenques, confiabilidad en l'alcanç de solucions evitant errors numèrics greus i orde de convergència.

Algoritmes generals per a equacions d'una variable

Els següents métodos són per a calcular les raïls reals d'una equació donada per f(x) = 0 a on s'exigix a lo manco que la funció f siga una funció contínua per a garantisar l'existència de solució. La majoria de métodos s'obtenen d'interpolar la funció, generalment per mig d'un polinomi de primer grau (interpolació llineal) i despuix aproximar la solució per mig d'alguna de les raïls del polinomi.

L'algoritme més simple de busca de raïls és el método de bisecció. Requerix un interval inicial que continga alguna raïl de l'equació (de manera que la funció prenga en els extrems del mateix valors de distint signe; vore el teorema de Bolzano). Dit interval inicial es va dividint successivament per la mitat (es bisecta) prenent-se l'interval que conté a la raïl. A pesar de ser un método que sempre convergix a una solució, convergix molt llentament.

El método de Newton assumix que la funció f siga contínuament derivable i que es coneix la derivada de la funció. Este método pot no convergir si es comença en un valor molt alluntat de la raïl. No obstant, si convergix, ho fa molt més ràpit que el método de bisecció (usualment, de manera quadràtica), per això el número de dígits correctes es duplica en cada iteración. El método de Newton també és útil perque es generalisa per a problemes de dimensions més altes.

Reemplaçant la derivada del método de Newton per un cocient incremental, obtenim el método de la secante. Este método no requerix el càlcul (ni l'existència) de la derivada, pero el preu que es deu pagar és un orde de convergència més baix (aproximadament 1.6).

El método de la regla falsa (o regula falsi) és un método que combina lo millor del método de bisecció i del método de la secante. El método talla l'interval en dos parts com en el método de bisecció, pero a diferència d'este, ho talla pel valor obtingut aplicant el método de la secante als extrems de l'interval, no sent generalment les parts iguals. El método convergix sempre a una raïl de l'equació, generalment de forma més ràpida que el método de bisecció pero més llenta que el método de la secante.

Finalment, hi ha una família de métodos coneguts com métodos de punt fix. Estos métodos es basen en obtindre a partir de l'equació f(x) = 0 una equació equivalent de la forma g(x) = x la solució de la qual es convertixca en un punt fix de g i iterando a partir d'un valor inicial fins que s'alcance.

Vore també

• Orde de convergència