Punt fix

Per a el sistema de representació numèrica vore menge fixa.

Per a atres usos d'este terme vore Punt fix (desambiguació).

Una funció en tres punts fixos

En matemàtiques, un punt fix d'una funció és un punt l'image produïda del qual per la funció és ell mateixa. És dir, x és un punt fix de la funció f si i només si $f (x) = x$ . Per eixemple:

1) Si f està definida sobre els número real com

f (x) = x^{2},

llavors 0 i 1 són els punts fixos de f, perque f(0) = 0 i f(1) = 1.

2) Si f està definida sobre els número real com

f (x) = x^{2} - 3 x + 4,

llavors 2 és un punt fix de f, perque f(2) = 2, i, ademés, és l'únic.

No totes les funcions tenen punts fixos. Per eixemple, si f és una funció definida sobre els número real com $f (x) = x + 1$ , llavors f no té cap punt fix, ya que x no és mai igual a x + 1 per a cap número real. En térmens gràfics, i en el domini dels reals, que x siga un punt fix significa que el punt $(x, f (x))$ pertany a la recta $y = x$ , o en atres paraules la gràfica de f té un punt en comú en eixa recta. L'eixemple $f (x) = x + 1$ és un cas a on la gràfica de f i la recta i=x són rectes paraleles. Pot vore's fàcilment que per a la funció $f (x) = x$ tots els punts del domini són punts fixos.

Els punts que tornen al mateix valor despuix d'un número finito de iteraciones de la funció es coneixen com punts periòdics; un punt fix és un punt periòdic en periodo igual a 1.

Punts fixos atractius

Archiu:Cosine fixed point.svg

La iteración de punt fix x_n+1 = cos x_n en el valor inicial x₁ = -1.

Un punt fix atractiu d'una funció f és un punt fix $x_{0}$ de f tal que per a qualsevol valor de x en el domini que és prou propenc a $x_{0}$ , la successió obtinguda iterando la funció

x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), \dots

convergix a $x_{0}$ . Cuán prop és "prou prop" és a voltes una qüestió sotil.

La funció coseno natural ("natural" significa en radianes, no graus o atres unitats) té exactament un punt fix atractiu. En este cas "prou prop" no és res restrictiu, per a vore-ho es pot escomençar en qualsevol número real i pulsar repetidament la tecla "cos" de la calculadora. El resultat convergix ràpidament a 0,73908513, que és un punt fix. Ací és a on la gràfica de la funció coseno interseca a la recta $y = x$ .

No tots els punts fixos són atractius: per eixemple, $x = 0$ és un punt fix de la funció $f (x) = 2 x$ , pero la iteración d'esta funció per a qualsevol punt distint de zero divergix ràpidament. Ara be, si la funció és contínuament derivable en un entorn obert del punt fix $x_{0}$ , i $| f^{'} (x_{0}) | < 1$ , llavors l'atracció està garantisada.

Els punts fixos atractius són un cas especial d'atractores, que és un concepte matemàtic més ampli (que el de punt fix atractiu).

Es diu que un punt fix atractiu és un punt fix estable si és també Lyapunov estable.

Es diu que un punt fix estable és neutralmente estable si és Lyapunov estable pero no atrayente. El centre d'una equació diferencial llineal homogénea de segon orde és un eixemple d'un punt fix neutralmente estable.

Un eixemple interessant

Seguint el primer capítul del llibre de Sternberg, podem redactar el resum del método per a calcular els punts fixos d'una funció donada $g (x)$ i també descobrir les seues propietats d'estabilitat.

   1. Dau  $f (x) = 0$ , es pot reescriure com  $f (x) + x = x$ . Establir  $g (x) = f (x) + x .$ 
   2. Resolga  $f (x) = 0$  per a obtindre els punts fixos  $x_{i}$  de  $g (x)$ .
   3. Calcular tots els valors de  $| g^{'} (x_{i}) |$  i vore quin és major que 1, menor que 1 o igual zero.
   4. Els  $x_{i}$  que són majors que 1 són inestables, els que són menors que 1 són estables i els que són iguals a zero són superestables.

Un eixemple més net és el següent:

   1. Considere  $f (x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)$ .
   2. Crea  $g (x) = f (x) + x = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3) + x$ .

3. $f (x) = 0$ té solucions $(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (1, 2, 3)$

   4.  $g^{'} (x) = (x - 3) \cdot (x - 2) + (x - 3) \cdot (x - 1) + (x - 2) \cdot (x - 1) + 1$ .
   5.  $| g^{'} (x_{1}) | = 3 > 1$  ( $x_{1}$  és inestable),  $| g^{'} (x_{2}) | = 0$  ( $x_{2}$  és superestable),  $| g^{'} (x_{3}) | = 3 > 1$  ( $x_{3}$  és inestable).

Demostració de l'eixemple sugerit. Llavors, si un comença la iteración en qualsevol punt en $(1, 3)$ , la iteración convergix a $2$ . Per a qualsevol punt inicial en $(- \infty, 1) \cup (3, \infty)$ la iteración divergix a infinit positiu o negatiu.

Vore també

Referències

Shashkin, Yuri A. (1991). Punts Fixos, Primera edició, Editorial Mir. ISBN 5-03-002250-3.
Sternberg, Shlomo (2010). «1. Iteration and fixed points», Dynamical Systems, Primera edició, Dover Publications. ISBN 0486477053.

Este artícul conté una traducció derivada de «Punto fijo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.