Teoria de l'estabilitat

En matemàtiques, la teoria d'estabilitat estudia l'estabilitat de les solucions d'equacions diferencials i sistemes dinàmics, és dir, examina cóm diferixen les solucions baix chicotetes modificacions de les condicions inicials.

L'estabilitat és molt important en física i ciències aplicades, ya que en general en els problemes pràctics les condicions inicials mai es coneixen en tota precisió, i la predictibilidad requerix que chicotetes desviacions inicials, no generen comportaments cualitativamente molt diferents a curt determini. Quan la diferència entre dos solucions en valors inicials propencs pot acotar-se per mig de la diferència de valors inicials, es diu que l'evolució temporal del sistema presenta estabilitat.

Estabilitat d'equacions diferencials

Degut a que tota equació diferencial pot reduir-se a un sistema d'equacions diferencials de primer orde equivalent, l'estudi de l'estabilitat de les solucions d'equacions diferencials pot reduir-se a l'estudi de l'estabilitat dels sistemes d'equacions diferencials. Considerem per eixemple un sistema d'equacions autònom no llineal dau per:

$\dot{𝐱}=f(𝐱(t)),\text{siendo}:𝐱(0)={𝐱}_0,f({𝐱}_0)=0$

A on $𝐱(t)\in 𝒟\subseteq {ℝ}^n$ és el vector d'estat del sistema, $𝒟$ un conjunt obert que conté a l'orige i $f:𝒟\to {ℝ}^n$ una funció contínua. Sense pèrdua de generalitat, es pot assumir que l'orige és un punt d'equilibri (si el punt d'equilibri fora un atre punt es pot fer un canvi de variable i redefinir la funció f per a que coincidixca en l'orige):

1. El punt orige és estable en el sentit de Lyapunov, si per a cada $ϵ>0$, existix un $\delta =\delta (ϵ)>0$ tal que, si $\Vert x(0)\Vert <\delta$, llavors $\Vert x(t)\Vert <ϵ$, per a qualsevol $t\ge 0$.
2. El punt orige és estable asintóticamente si és estable en el sentit de Lyapunov i existix $\delta >0$ tal que si $\Vert x(0)\Vert <\delta$, llavors $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }x(t)=0$.
3. El punt orige és estable exponencialment si és asintóticamente estable i si existixen $\alpha ,\beta ,\delta >0$ tals que si $\Vert x(0)\Vert <\delta$, llavors $\Vert x(t)\Vert \le \alpha \Vert x(0)\Vert e^{-\beta t}$, per a $t\ge 0$.

Conceptualment, les definicions anteriors es poden interpretar com que:

1. L'estabilitat en el sentit de Lyapunov d'un punt d'equilibri significa que les solucions que escomencen "suficientment prop" d'un punt d'equilibri (a una distància $\delta$ d'ells) permaneixen "suficientment prop" per a sempre (com a molt a una distància $ϵ$ l'una de l'atra). Note's que açò deu ser cert per a qualsevol $ϵ$ que un trie.
2. L'estabilitat asintòtica significa que solucions que escomencen suficientment prop, no només permaneixen propenques sino que finalment acaben convergint al mateix equilibri.
3. L'estabilitat exponencial significa que les solucions no només convergixen, sino que ademés convergixen a lo manco tan ràpit com $\alpha \Vert x(0)\Vert e^{-\beta t}$.

Estabilitat numèrica

Artícul principal → estabilitat numèrica.

l'estabilitat numèrica tècnicament no forma part de la teoria de l'estabilitat, ya que no analisa l'estabilitat de solucions d'un sistema d'evolució temporal, sino l'estabilitat de l'algoritme usat per a trobar una de les solucions de dit sistema. No obstant, el propi algoritme numèric de resolució pot ser vist a voltes com un sistema dinàmic discret.