Funció contínua

La funció $f(x)=\frac{1}{x}$ és contínua en el seu domini ($ℝ\setminus \{0\}$) i no continuable en $x=0$. No obstant, es pot definir el seu valor principal de Cauchy. Per un atre costat, en anàlisis complex ($ℂ$, especialment $\widehat{ℂ}$), este punt (x=0) no es considera indefinit i es diu singularitat, perque quan es pensa en $x$ com una variable complexa, este punt es pot definir com un pol d'orde un, i després generar una série de Laurent en una part principal finita com a màxim al voltant dels punts singulars. Ademés, l'esfera de Riemann s'utilisa a sovint com a model per a estudiar funcions com la de l'eixemple

En càlcul i topología, una funció contínua és una funció para la qual, intuitivament, variacions chicotetes de punts del domini produïxen variacions chicotetes en els valors de la funció. Açò significa que no presenta "canvis bruscs" en punts propencs, lo que es coneixeria com una discontinuïtat. Si la funció no és contínua, es diu que és discontínua.

Informalment, una funció contínua de $ℝ$ en $ℝ$ és aquella que la seua gràfica pot dibuixar-se sense alçar el llapis del paper (més formalment el seu grafo és un conjunt conexo). Formalment, una funció és contínua si es pot conseguir que els seus valors varien arbitrariamente poc a costa de fer suficientment chicotetes les distàncies entre els arguments considerats. Fins al sigle XIX, els matemàtics definien la continuïtat intuitivamente, i només treballaven en funcions contínues. La definició de continuïtat es va conseguir formalisar per mig de la definició épsilon-delta de llímit.

La continuïtat de funcions és un dels conceptes bàsics del anàlisis matemàtic i de la topología general. Este artícul descriu principalment la continuïtat de funcions reals d'una variable real, encara que més avall es descriuen també les generalisacions a vàries variables, espais mètrics i espais topològics.

Continuïtat o discontinuïtat d'una funció en un punt

En analisar una funció:

$\begin{array}{cccc}f:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=f(x)\end{array}$

en un punt: $x=x_1$, poden donar-se els següents casos:

$\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{n}\{\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{a}\{\begin{array}{c}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\\ \mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\end{array}\\ \\ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{a}\{\begin{array}{c}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\\ \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\{\begin{array}{c}\mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{1}}^{\mathrm{a}}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\{\begin{array}{c}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{o}\\ \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{o}\\ \mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\end{array}\\ \mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{2}}^{\mathrm{a}}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\end{array}\end{array}\end{array}$

Funcions reals d'una variable real

Informalment parlant, una funció $f$ definida sobre un interval $I$ és contínua si la curva que la representa, és dir el conjunt dels punts $(x,f(x))$, en $x$ en $I$, està constituïda per un traç continu, és dir un traç que no està trencat, ni té "clots" ni "bots", com en la figura de la dreta.

L'interval $I$ de $x$ és el domini de definició de $f$, definit com el conjunt dels valors de $x$ per als quals f(x) existix.

L'interval $J$ de $y$ és el ranc (també conegut com a image) de $f$, el conjunt dels valors de $y$, presos com $y=f(x)$. S'escriu $J=f(I)$. Notar que en general, no és igual que el codominio (solament si la funció en qüestió és suprayectiva.)

El major element de $J$ es diu el màxim absolut de $f$ en $I$, i el menor valor de $J$ és el seu mínim absolut en el domini $I$.

Continuïtat d'una funció

La definició de continuïtat en un punt és la següent:

Una funció f és contínua en un punt x₀ que pertanyga al domini de la funció

si:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0$

tal que para tota x pertanyent al domini de la funció

$|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.

L'anterior definició es pot llegir intuitivamente com seguix. Un funció f és contínua en un punt x₀ si podem fer que els seus valors aproximen l'image del punt, f(x₀), arbitrariamente ben ($\mathrm{\forall }\epsilon >0$ $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$) si considerem només punts x suficientment propencs a x₀ (que disten d'ell menys que una distància $\delta >0$ que podem prendre arbitrariamente menuda). És dir, les imàgens de $f$ al voltant de $x_0$ varien arbitrariamente poc si nos acostem a $x_0$ lo suficient.

Comparant la definició donada en la definició épsilon-delta de llímit, la podem escriure en térmens de llímits de la següent manera; si x₀ és un punt del domini de la funció que és punt d'acumulació del mateix, llavors f és contínua en x₀ si i solament si $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$. Quan x₀ és un punt del domini que no és d'acumulació del mateix, és dir, és punt aïllat del domini, es complix trivialment la definició, després tota funció és contínua en els punts aïllats del seu domini. Per eixemple, les successions de número real són un cas de funció real de variable real el domini de la qual és el conjunt dels número natural. Com tots els punts del domini d'una successió són punts aïllats del mateix, es conclou que tota successió és una funció contínua. Per un atre costat, no té sentit parlar de si una funció és o no contínua en un punt que no pertanyga al domini de la mateixa. Per eixemple, la funció f(x)=1/x és contínua en tots els punts del seu domini (observe's que zero no està en el domini de la funció). En zero, com no està en el domini, no podem parlar ni de si és contínua ni de si no ho és posat que la definició de continuïtat en un punt i, per tant, la possibilitat de decidir sobre si una funció és o no contínua en dit punt, part d'un punt del domini de la funció abans de definir la continuïtat en el mateix. No oblidem que el domini d'una funció no té per qué ser un interval. Per eixemple, el domini de la funció $f(x)=\sqrt{\cos (2\pi x)-1}$ és $\mathbb{Z}$, el conjunt dels número entero.

A voltes en la definició es posen desigualtats de menor o igual (i no estrictes), és dir, es diu que $f:D\subseteq ℝ\to ℝ$ és contínua en $x_0$ si

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:\mathrm{\forall }x\in D|x-x_0|\le \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\le \epsilon$.

Açò no constituïx un problema perque abdós versions de la definició són equivalents. En efecte, si $f$ és contínua per la primera definició i volem vore que ho és per la segona, per a cada $\epsilon >0$ basta prendre com a delta de la segona definició $\delta /2$, a on $\delta >0$ és la delta que dona la primera definició. Análogament, suponent certa la segona definició, podem comprovar la primera prenent $\epsilon /2$ en la segona.

OBSERVACIÓN:

En el cas d'aplicacions de $ℝ$ en $ℝ$, és comuna vore que es diu que una funció $f$ és contínua en un punt x₁ si existix f(x₁), si existix el llímit de f(x) quan x tendix cap a x₁ per la dreta, si existix el llímit de f(x) quan x tendix cap a x₁ per l'esquerra, i ademés abdós coincidixen en f(x₁). Açò implicaria que, donada una funció, si no està definida en un punt, esta no és contínua en ell, aplegant a una situació com la següent: La funció $f:(0,1)⟶ℝ$ definida com $f(x)=x$ no és contínua en 0 perque no està definida en dit punt, pero tampoc és contínua en 3 ni en 5. Esta definició, no satisfactòria, de continuïtat està molt estesa, pero cal recordar el requisit indispensable per a poder parlar de continuïtat de que el punt en el que s'estudia la continuïtat pertanyga al domini. Si no està en el domini, pero és punt d'acumulació del mateix, podem parlar de si pugues o no estendre's en continuïtat a dit punt, pero no podem dir que la funció és discontínua en dit punt (la funció estesa sí podria ser discontínua, ya que en incorporar dit punt al domini, té sentit plantejar-se l'estudi de la continuïtat en ell).

---

Aixina que, una funció f contínua en un punt del seu domini x₁ que, ademés, és punt d'acumulació del mateix, implica lo següent:

$(7)f(x_1)=L_{(x_1)}\{\begin{array}{c}(5)L_{(x_1)}=L_{(x_1)}^{+}=L_{(x_1)}^{-}\{\begin{array}{c}(3)\mathrm{\exists }{L}_{(x_1)}^{+}\wedge \mathrm{\exists }{L}_{(x_1)}^{-}\{\begin{array}{c}(1)\mathrm{\exists }{L}_{(x_1)}^{+}=\underset{x\to {x_1}^{+}}{\lim }f(x)\\ \\ (2)\mathrm{\exists }{L}_{(x_1)}^{-}=\underset{x\to {x_1}^{-}}{\lim }f(x)\end{array}\\ (4)L_{(x_1)}^{+}=L_{(x_1)}^{-}\end{array}\\ (6)\mathrm{\exists }f(x_1)\end{array}$

(1). Existix el llímit per la dreta:

$\mathrm{\exists }\underset{x\to x_1^{+}}{\lim }f(x)\in ℝ$

(2). Existix el llímit per l'esquerra:

$\mathrm{\exists }\underset{x\to x_1^{-}}{\lim }f(x)\in ℝ$

(3). Existix el llímit per la dreta i per l'esquerra:

$\mathrm{\exists }\underset{x\to x_1^{+}}{\lim }f(x)\in ℝ\wedge \mathrm{\exists }\underset{x\to x_1^{-}}{\lim }f(x)\in ℝ$

(4). El llímit per la dreta i el llímit per l'esquerra coincidixen:

$\underset{x\to x_1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_1^{+}}{\lim }f(x)$

(5). Si existixen el llímit per la dreta i per l'esquerra i els seus valors coincidixen, la funció té llímit en este punt:

$\underset{x\to x_1}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_1^{+}}{\lim }f(x)$

(6). Existix f(x₁):

$\mathrm{\exists }f(x_1)$

(7). El llímit i el valor de la funció coincidixen:

$\underset{x\to x_1}{\lim }f(x)=f(x_1)$

---

Es diu que una funció és contínua en un interval si és contínua en tots els seus punts.

Si f(x₁)= i₁, la continuïtat en x₁ s'expressa aixina:

$\underset{x\to x_1}{\lim }f(x)=y_1$

parafraseando, quan x s'aproxima a x₁, f(x) s'aproxima a i₁. Per definició dels llímits, açò significa que para tot interval obert J, centrat en i₁, existix un interval obert I, centrat en x₁, tal que $f(I)\in J$.

Si f no és contínua en un punt, la teorema cau en falta. En efecte, no tot interval I al voltant de x₁ té la seua image en un interval J centrat en i₁, en un radi inferior al bot de f, no importa lo chicotet que este interval siga, hi ha valors de x de l'interval I al voltant de x₁ que té la seua image en un interval K centrat en i₂, sent i₁ i i₂ valors distints, açò és: x té imàgens que s'ixen de J.

La ventaja d'esta definició és que es pot generalisar a qualsevol espai topològic.

Continuïtat lateral

Una funció $f$ és contínua per l'esquerra en el punt $x_1$ si el llímit lateral per l'esquerra i el valor de la funció en el punt són iguals. És dir:

$\underset{x\to x_1^{-}}{\lim }f(x)=f(x_1)$

com en la figura.

Una funció $f$ és contínua per la dreta en el punt $x_1$ si el seu llímit lateral per la dreta i el valor de la funció en el punt són iguals. És dir:

$\underset{x\to x_1^{+}}{\lim }f(x)=f(x_1)$

Una funció $f$ és contínua en un punt si és contínua per l'esquerra i és contínua per la dreta. Açò és:

$\underset{x\to x_1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_1^{+}}{\lim }f(x)=f(x_1)$

Continuïtat d'una funció en un interval obert: (a,b)

Un valor c, pertany a un interval obert I, d'extrem esquerre a i extrem dret b, representat I= (a,b) si:

$a<c<b$

Una funció, f és contínua en un interval obert I= (a,b), si i solament si la funció és contínua en tots els punts de l'interval, és dir:

$\mathrm{\forall }c\in I=(a,b):\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c)$

Continuïtat d'una funció en un interval tancat: [a,b]

Un valor c, pertany a un interval tancat I, d'extrem esquerre a i extrem dret b, representat I= [a,b] si:

$a\le c\le b$

Una funció f és contínua en un interval tancat [a, b] si la funció és contínua en l'interval obert (a,b) i és contínua per la dreta de a i contínua per l'esquerra de b:

$\mathrm{\forall }c\in I=[a,b]:\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c)\wedge \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=f(a)\wedge \underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=f(b)$

Vore també

• Classificació de discontinuïtats
• Llista de funcions matemàtiques
• Derivació
• Continu
• Continuïtat uniforme

Bibliografia

• Serge Lang (1990): Introducció a l'anàlisis Matemàtic, Wilmington Delaware.
• James R. Munkres (2002): Topología, Madrit.
• Demidovich B. P. (1980). "5000 Problemes d'Anàlisis Matemàtic".