Série de Laurent

En matemàticas, la série de Laurent d'una funció complexa $f (z)$ és la representació de la mateixa funció en la forma d'una série de potències, la qual també inclou térmens de grau negatiu. Esta série es pot usar per a expressar funcions complexes en casos a on una expansió de la série de Taylor no és aplicable o no es pot acoplar. Les séries de Laurent es poden usar per a expressar funcions holomorfas definides en corones, aixina com les series de potències es poden usar per a expressar funcions holomorfas en discs. La série de Laurent va ser descoberta per Karl Weierstrass en l'any de 1841, pero no ho va publicar en eixe llavors;^[1] paralelament, el matemàtic francés Pierre Alphonse Laurent va desenrollar les mateixes, i va ser qui la va publicar per primera volta en l'any 1843.^[2]

Definició

Una série de Laurent es definix sobre un punt particular $c$ i un camí d'integració $γ$ totalment contingut en una corona oberta al voltant de $c$ en la que $f (z)$ siga una funció holomorfa (a voltes s'usa com a sinònim el terme funció analítica, encara que no és estrictament correcte, ya que una funció analítica és tècnicament aquella que admet desenroll en série de potències en cert entorn d'un punt; lo que ocorre és que en $ℂ$ tota funció holomorfa és també analítica).

Una série de Laurent centrada al voltant d'un punt $c$ és una série de la forma:

\sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - c)^{n}

a on $a_{n}, c, z \in ℂ$ .

Els coeficients d'una série de Laurent en una funció analítica es poden trobar per mig de la fòrmula integral de Cauchy i estan donats per:

a_{n} = \frac{1}{2 π i} \oint_{γ} \frac{f (z)}{(z - c)^{n + 1}} d z

per a $n \in ℤ$ .

La successió de constants estan definides per un camí d'integració en la generalisació de la fòrmula integral de Cauchy.

Convergència

Supongam que

$\sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - c)^{n}$

és una série de Laurent en coeficients a_n i un centre complex c. Llavors existixen un radi interior r i un radi exterior R únics de tal forma que:

La série de Laurent és convergent en la corona oberta $D = {z \in ℂ : r < | z - c | < R}$ . En dir que la série de Laurent convergix, s'entén que es diu que tant la série de potències de grau positiu com la de potències de grau negatiu convergixen. Ademés, esta convergència és uniforme en subconjunts compactes de la corona. Finalment, esta convergència definix una funció holomorfa $f (z)$ en la corona oberta.
Fòra de la corona, la série de Laurent és divergent. Açò és, en tot punt exterior a $D$ o be la série de potències positives o be la de negatives divergix.
En la frontera de la corona no es pot enunciar res en general, llevat que existixen a lo manco un punt en la frontera interior i un atre en la frontera exterior per als quals la funció $f$ no pot ser continuada holomórficament.

És possible que $r$ siga 0 i que $R$ siga infinit; en eixe cas, la série convergix en tot $ℂ$ llevat en $c$ , a on no està ben definida. En l'atre extrem, $r$ no és necessàriament menor que $R$ ; en este cas, $D$ és buit, lo que significa que la série no convergix en cap punt.

Els anteriors ràdios es poden calcular com seguix (estes fòrmules donen la seua unicitat):

r = \underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{- n} |^{1 / n}

i

R = \frac{1}{\underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} |^{1 / n}}

(

R

es pren infinit si el llímit superior és 0).

Acabem de vore que tota série de Laurent se li pot vincular una funció holomorfa (o, equivalentemente, analítica) de la forma:

f (z) : = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - c)^{n},

el domini del qual és el conjunt de punts en $ℂ$ sobre el qual és convergent (la corona més, possiblement, alguns punts de la seua frontera).

Recíprocament, si escomencem en la corona $D = {z \in ℂ : r < | z - c | < R}$ i en una funció $f$ holomorfa en $D$ , existix una única série de Laurent en la corona que convergix (per lo manco) en $D$ que coincidix en $f$ . Els seus coeficients $a_{n}$ queden determinats, usant la fòrmula integral de Cauchy, per les fòrmules

$a_{n} = \frac{1}{2 π i} \oint_{γ} \frac{f (z)}{(z - c)^{n + 1}} d z$ .

Vore també

Referències

↑ Plantilla:Obra citada/núcleo.
↑ Nahim, Paul J. (2008). Açò no és real. L'història d'i., Libraria, p. 234. ISBN 9685374244. «Epílec: que ve despuix»

Bibliografia

(2012) Anàlisis bàsic de variable complexa, Mèxic, D.F.: Trillas. OCLC 914504275. ISBN 9789682452031.
Cartan, Henri (1995). Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables (en anglés), Nova York: Dover Publications. OCLC 797633389. ISBN 0486685438.
Plantilla:GSM
Plantilla:GSM

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Serie de Laurent» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Plantilla:Obra citada/núcleo.

[2] Nahim, Paul J. (2008). Açò no és real. L'història d'i., Libraria, p. 234. ISBN 9685374244. «Epílec: que ve despuix»

[1]

[2]