Fòrmula integral de Cauchy

En matemàtiques, la fòrmula integral de Cauchy és un resultat fonamental en anàlisis complex. El nom de la teorema es va posar en honor al matemàtic Augustin Louis Cauchy.

La fòrmula expressa el fet de que una funció holomorfa definida en un disc està completament determinada pels seus valors en la frontera del disc, i proporciona fòrmules per a calcular totes les derivades d'una funció holomorfa a partir d'integrals. La fòrmula de Cauchy mostra que, en l'anàlisis complex, "la diferenciació és equivalent a l'integració": aixina, permet deduir que la diferenciació complexa, com l'integració, es comporta ben baix llímits uniformes, un resultat que no se sosté en l'anàlisis real.

Teorema

Siga $U$ un subconjunt obert en el pla complex $ℂ$ i suponga's que el disc tancat $D$ definit per

D = {z : | z - z_{0} | \leq r}

està completament contingut en $U$ . Sean $f : U \to ℂ$ una funció holomorfa, açò és $f \in ℋ (U)$ , i $γ$ el círcul orientat, en sentit antihorario, que forma la frontera de $D$ . Llavors, per a qualsevol $a$ en l'interior de $D$

f (a) = \frac{1}{2 π i} \oint_{γ} \frac{f (z)}{z - a} d z

.

Esta és la que es coneix com a fòrmula integral de Cauchy

La demostració d'este resultat usa el teorema integral de Cauchy i necessita que $f$ siga diferenciable en el pla complex.

Com corolari, usant que $1 / (z - a)$ pot ser expandit com una série de potències en la variable $a$ com

\frac{1}{z - a} = \frac{1}{z} (1 + \frac{a}{z} + {(\frac{a}{z})}^{2} + \dots)

,

se seguix que les funcions holomorfas són analítiques, és dir, poden ser expandides com a séries de potències, com es demostra en la pàgina Analiticidad de les funcions holomorfas. En particular, en ser analítica, $f$ és infinitament diferenciable en

f^{(n)} (a) = \frac{n!}{2 π i} \oint_{γ} \frac{f (z)}{(z - a)^{n + 1}} d z

.

En ocasions esta fòrmula és coneguda com a fòrmula de diferenciació de Cauchy. És dir, açò demostra que una funció de variable complexa, en ser diferenciable una volta, ya ho és infinitament; este resultat és fals en variable real.

La teorema anterior pot generalisar-se. El círcul $γ$ pot substituir-se per qualsevol curva rectificable tancada en $O$ que tinga número de enrollamiento un sobre $a$ . Ademés, com per a la teorema de l'integral de Cauchy, n'hi ha prou en exigir que $f$ siga holomorfa en la regió oberta tancada per la trayectòria i contínua en la seua tancament.

Note's que no tota funció contínua en el llímit pot utilisar-se per a produir una funció dins del llímit que s'ajuste a la funció llímit donada. Per eixemple, si posem la funció $f(z) = Plantilla:Sfrac$ , definida per a |z| = 1 en la fòrmula de l'integral de Cauchy, obtenim zero per a tots els punts dins del círcul. De fet, donar només la part real en la frontera d'una funció holomorfa és suficient per a determinar la funció llevat que siga una constant imaginària - només hi ha una part imaginària en la frontera que correspon a la part real donada, fins a l'adició d'una constant. Podem utilisar una combinació d'una transformació de Möbius i la fòrmula d'inversió de Stieltjes per a construir la funció holomorfa a partir de la part real en la frontera. Per eixemple, la funció $f (z) = i - iz$ té part real $Re f (z) = Im z$ . En el círcul unitari es pot escriure $Plantilla:Sfrac$ . Usant la transformació de Möbius i la fòrmula de Stieltjes construïm la funció dins del círcul. El terme $Plantilla:Sfrac$ no contribuïx, i trobem la funció $- iz$ . Açò té la part real correcta en el llímit, i també nos dona la part imaginària corresponent, llevat una constant multiplicativa, a saber, $i$ .

Esquema de la prova

Utilisant el Teorema integral de Cauchy, es pot demostrar que l'integral sobre $C$ (o la curva tancada rectificable) és igual a la mateixa integral presa sobre un círcul arbitrariamente chicotet al voltant de $a$ . Com $f (z)$ és contínua, podem elegir un círcul suficientment chicotet en el que $f (z)$ estiga arbitrariamente prop de $f (a)$ . Per una atra part, sobre qualsevol círcul $C$ de radi $ε > 0$ centrat en $a$ , podem calcular l'integral

\oint_{C} \frac{1}{z - a} d z = \int_{0}^{2 π} \frac{ε i e^{i t}}{(a + ε e^{i t}) - a} d t = \frac{ε i}{ε} \int_{0}^{2 π} d t = 2 π i .

Fent tendir el radi a zero, $ε \to 0$ , s'obté l'estimació desijada

\begin{matrix} | \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{z - a} d z - f (a) | & = | \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z) - f (a)}{z - a} d z | \\ = | \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} (\frac{f (z (t)) - f (a)}{ε e^{i t}} \cdot ε e^{i t} i) d t | \\ \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{| f (z (t)) - f (a) |}{ε} ε d t \\ \leq \max_{| z - a | = ε} | f (z) - f (a) | \to_{ε \to 0}^{} 0. ◻ \end{matrix}

Eixemple

Archiu:ComplexResiduesExample.png

Superfície de la part real de la funció

g(z) = Plantilla:Sfrac

i les seues singularitats, en els contorns descriptos en el text.

Siga

g (z) = \frac{z^{2}}{z^{2} + 2 z + 2},

i definim $C$ com el contorn definit per |z| = 2 (el círcul de radi 2).

Per a trobar l'integral de $g (z)$ a lo llarc del contorn $C$ , es deuen conéixer les singularitats de $g (z)$ . Observe's que es pot reescriure $g$ de la següent manera:

g (z) = \frac{z^{2}}{(z - z_{1}) (z - z_{2})}

a on $z 1 = -1 + i$ i $z 2 = -1 - i$ (factorizando el denominador).

Per lo tant, $g$ té pols en $z 1$ i $z 2$ (té llímit infinit en eixos punts). El mòdul d'estos punts és menor que 2 i per lo tant es troben dins del contorn. Aplicant el teorema integral de Cauchy, l'integral es pot reduir a dos integrals més senzilles: és dir, es pot expressar l'integral al voltant del contorn com la suma de l'integral al voltant de $z 1$ i $z 2$ a on el contorn és un círcul chicotet al voltant de cada pol. Cridem a estos contorns $C 1$ al voltant de $z 1$ i $C 2$ al voltant de $z 2$ .

Ara, cada una d'estes integrals chicotetes pot ser evaluada per mig de la fòrmula integral de Cauchy, pero abans deuen ser reescrites per a poder aplicar la teorema. Per a l'integral al voltant de $C 1$ , definim $f 1$ com $f 1 (z) = (z - z 1) g (z)$ . Esta funció és holomorfa en un entorn obert de $C 1$ (ya que el contorn la seua única singularitat, en $z 2$ ). Es pot simplificar $f 1$ obtenint:

f_{1} (z) = \frac{z^{2}}{z - z_{2}}

i llavors

g (z) = \frac{f_{1} (z)}{z - z_{1}} .

Ya que la teorema integral de Cauchy establix que

\oint_{C} \frac{f_{1} (z)}{z - a} d z = 2 π i f_{1} (a),

es pot evaluar l'integral de la següent manera:

\oint_{C_{1}} g (z) d z = \oint_{C_{1}} \frac{f_{1} (z)}{z - z_{1}} d z = 2 π i f_{1} (z_{1}) = 2 π i \frac{z_{1}^{2}}{z_{1} - z_{2}} .

Procedint de manera similar per a l'atre contorn:

f_{2} (z) = \frac{z^{2}}{z - z_{1}},

i es calcula que

\oint_{C_{2}} g (z) d z = \oint_{C_{2}} \frac{f_{2} (z)}{z - z_{2}} d z = 2 π i f_{2} (z_{2}) = 2 π i \frac{z_{2}^{2}}{z_{2} - z_{1}} .

L'integral al voltant del contorn original $C$ llavors és la suma d'estes dos integrals (usant el teorema integral de Cauchy):

\begin{matrix} \oint_{C} g (z) d z & = \oint_{C_{1}} g (z) d z + \oint_{C_{2}} g (z) d z \\ = 2 π i (\frac{z_{1}^{2}}{z_{1} - z_{2}} + \frac{z_{2}^{2}}{z_{2} - z_{1}}) \\ = 2 π i (- 2) \\ = - 4 π i . \end{matrix}

També podríem haver-ho calculat d'una atra manera recorrent a un truc elemental usant la descomposició en fraccions simples:

\oint_{C} g (z) d z = \oint_{C} (1 - \frac{1}{z - z_{1}} - \frac{1}{z - z_{2}}) d z = 0 - 2 π i - 2 π i = - 4 π i

.

Conseqüències

La fòrmula integral té àmplies aplicacions. Primer, implica que una funció que és holomorfa en un conjunt obert és de fet infinitament diferenciable allí. Ademés, que tota funció holomorfa és una funció analítica, lo que significa que es pot representar com una série de potències. La prova d'açò es pot trobar en la pàgina Analiticidad de les funcions holomorfas.

La fòrmula també s'usa per a provar el teorema dels residus, que és un resultat per a calcular integrals de funcions meromorfas, i un resultat relacionat, el principi d'argument. També servix per a demostrar el teorema de Morera, que assegura que el llímit uniforme de funcions holomorfas és holomorfo: de fet, la fòrmula de Cauchy també es complix en el llímit, i l'integrant, i per lo tant l'integral, es pot expandir com una série de potències, mostrant aixina que és holomorfo. Ademés, les fòrmules de Cauchy per a les derivades d'orde superior mostren que totes estes derivades també convergixen de manera uniforme.

L'anàlec de la fòrmula integral de Cauchy en anàlisis real és la fòrmula integral de Poisson per a funcions harmòniques; molts dels resultats de les funcions holomórficas es traslladen a este escenari. No obstant, tals resultats no són vàlits per a classes més generals de funcions analítiques diferenciables o reals. Per eixemple, l'existència de la primera derivada d'una funció real no implica necessàriament l'existència de derivades d'orde superior ni, en particular, la analiticidad de la funció. Aixina mateix, el llímit uniforme d'una seqüència de funcions diferenciables (reals) pugues no ser diferenciable, o pot ser diferenciable pero en una derivada que no és el llímit de les derivades dels membres de la seqüència.

Una atra conseqüència és que si $f (z) = Σ a n z n$ és holomorfa en < R}} i $0 < r < R$ < R}} i $0 < r < R$ llavors els coeficients $a n$ satisfan la desigualtat de Cauchy.^[1]

| a_{n} | \leq r^{- n} \sup_{| z | = r} | f (z) | .

A partir de la desigualtat de Cauchy, es pot deduir fàcilment que tota funció sancera acotada deu ser constant (que és Teorema de Liouville).

La fòrmula també es pot utilisar per a derivar la Teorema del valor mig de Gauss, que establix que^[2]

f (z) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z + r e^{i θ}) d θ .

En atres paraules, el valor mig de $f$ sobre el círcul centrat en $z$ en ràdio $r$ és $f (z)$ . Açò es pot calcular directament a través d'una parametrización del círcul.

Generalisacions

Funciones suaus

Una versió de la fòrmula integral de Cauchy és la fòrmula Cauchy-Pompeiu,,^[3] i val també para funcions suaus, ya que es basa en el teorema de Stokes. Siga $D$ un disc en $C$ i supongam que $f$ és una funció C contínuament diferenciable de valor complex sobre el tancament de $D$ . Llavors^[4]Plantilla:Harv

f (ζ) = \frac{1}{2 π i} \int_{\partial D} \frac{f (z) d z}{z - ζ} - \frac{1}{π} \iint_{D} \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} (z) \frac{d x \land d y}{z - ζ} .

Es pot utilisar esta fòrmula de representació per a resoldre les equacions de Cauchy-Riemann no homogénees en $D$ . En efecte, si $φ$ és una funció en $D$ , llavors una solució particular $f$ de l'equació és una funció holomorfa fora del soport de $μ$ . Ademés, si en un conjunt obert D,

d μ = \frac{1}{2 π i} φ d z \land d \bar{z}

per a algun $φ \in C (D)$ (a on $k \geq 1$ ), llavors $f (ζ, Plantilla:Overline)$ està també en $C (D)$ i satisfà l'equació:

\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = φ (z, \bar{z}) .

La primera conclusió és, sucintament, que la convolución $μ * k (z)$ d'una mida compactamente soportada en el núcleu de Cauchy

k (z) = p.v. \frac{1}{z}

és una funció holomorfa fora del soport de $μ$ . Ací $p.v.$ denota el valor principal. La segona conclusió afirma que el núcleu de Cauchy és una solució fonamental de les equacions de Cauchy-Riemann. Note's que per a funcions suaus de valor complex $f$ de soport compacte en $C$ la fòrmula integral de Cauchy generalisada se simplifica a

f (ζ) = \frac{1}{2 π i} \iint \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \frac{d z \land d \bar{z}}{z - ζ},

i és un replanteig del fet de que, considerada com una distribució, $(π z) -1$ és una solució fonamental de les Equacions de Cauchy-Riemann. $Plantilla:Sfrac$ .^[5] La fòrmula de l'integral de Cauchy generalisada pot deduir-se per a qualsevol regió oberta acotada $X$ en $C$ frontera $\partial X$ a partir d'este resultat i de la fòrmula per a la derivada distribucional de la funció característica $χ X$ de $X$ :

\frac{\partial χ_{X}}{\partial \bar{z}} = \frac{i}{2} \oint_{\partial X} d z,

a on la distribució del costat dret denota integració de contorn a lo llarc de $\partial X$ .^[6]

Vàries variables

En vàries variables complexes, la fòrmula de l'integral de Cauchy pot generalisar-se a polidiscos Plantilla:Harv. Siga $D$ el polidisco donat com el

D = \prod_{i = 1}^{n} D_{i} .

Supongam que $f$ és una funció holomorfa en $D$ contínua en el tancament de $D$ . Llavors

f (ζ) = \frac{1}{{(2 π i)}^{n}} \int \dots \iint_{\partial D_{1} \times \dots \times \partial D_{n}} \frac{f (z_{1}, \dots, z_{n})}{(z_{1} - ζ_{1}) \dots (z_{n} - ζ_{n})} d z_{1} \dots d z_{n}

a on $ζ = (ζ 1,..., ζ n) \in D$ .

En àlgebra reals

La fòrmula de l'integral de Cauchy és generalisable a espais vectorials reals de dos o més dimensions. La comprensió d'esta propietat prové del àlgebra geomètrica, a on es consideren objectes més allà d'escalares i vectores (com bivectorés plans i trivectores volumètrics), i una generalisació pròpia del teorema de Stokes.

El càlcul geomètric definix un operador derivativo $\nabla = ê' i \partial i$ baix el seu producte geomètric - és dir, per a un camp vectorial $k$ $ψ (r)$ , la derivada $\nabla ψ$ generalment conté térmens de grau $k + 1$ i $k - 1$ . Per eixemple, un camp vectorial ( $k = 1$ ) generalment té en la seua derivada una part escalar, la divergència ( $k = 0$ ), i una part bivectorial, el rotacional ( $k = 2$ ). Este operador derivativo particular té una funció de Green:

G (𝐫, 𝐫^{'}) = \frac{1}{S_{n}} \frac{𝐫 - 𝐫^{'}}{{| 𝐫 - 𝐫^{'} |}^{n}}

a on $S n$ és la superfície d'una unitat $n$ -bola en l'espai (és dir, $S 2 = 2π$ , la circumferència d'un círcul de radi 1, i $S 3 = 4π$ , la superfície d'una esfera de radi 1).

Referències

↑ Titchmarsh 1939, p. 84
↑ WolframAlpha. Teorema del valor mig de Gauss.
↑ Pompeiu, D.. “Sur la continuité dones fonctions de variables complexes”. Annales de la Vaig facultar dones Sciences de Toulouse 2 (7.3): 265–315.
↑ «Copia archivada». Archivat des d'el original, el 2 de juliol de 2016. Consultat el 4 de març de 2023.
↑ Hörmander 1983, pàg. 63, 81
↑ Hörmander 1983, pàg. 62-63

Vore també

Bibliografia adicional

Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis, 3rd edició (en anglés), McGraw Hill. ISBN 978-0-07-000657-7..
Pompeiu, D.. “Sur la continuité dones fonctions de variables complexes”. Annales de la Vaig facultar dones Sciences de Toulouse 7 (3): 265–315.
Titchmarsh, E. C. (1939). Theory of functions, 2nd edició (en anglés), Oxford University Press.

Hörmander, Lars (1966). An Introduction to Complex Analysis in Several Variables (en anglés), Van Nostrand.
Hörmander, Lars (1983). The Analysis of Linear Partial Differential Operators I (en anglés), Springer. ISBN 3-540-12104-8.
(2003) Geometric Algebra for Physicists (en anglés), Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9.

Enllaços externs

Cauchy Integral Formula en MathWorld.
Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Fórmula integral de Cauchy» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Titchmarsh 1939, p. 84

[2] WolframAlpha. Teorema del valor mig de Gauss.

[3] Pompeiu, D.. “Sur la continuité dones fonctions de variables complexes”. Annales de la Vaig facultar dones Sciences de Toulouse 2 (7.3): 265–315.

[4] «Copia archivada». Archivat des d'el original, el 2 de juliol de 2016. Consultat el 4 de març de 2023.

[5] Hörmander 1983, pàg. 63, 81

[6] Hörmander 1983, pàg. 62-63

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]