Teoria de distribucions

En anàlisis matemàtic, una distribució o funció generalisada és un objecte matemàtic que generalisa la noció de funció i la de medida.

Ademés la noció de distribució servix per a estendre el concepte de derivada a totes les funcions localment integrables i a ents encara més generals. El seu us és indispensable en molts camps de les matemàtiques, la física i l'ingenieria. Aixina, per eixemple, s'utilisa en l'anàlisis de Fourier per a obtindre solucions generalisades d'equacions en derivades parcials. També juguen un paper molt important en electrodinàmica quàntica i en processament de senyals.

Les "funcions generalisades" varen ser introduïdes per Serguéi Sóbolev en 1935. Independentment i a finals de la década de 1940 Laurent Schwartz va formalisar la teoria de distribucions, lo que li va valdre la medalla Fields en 1950.

Introducció

En diversos eixemples físics idealizados apareixen objectes matemàtics (cuasi-funcions) similars a les funcions convencionals l'us de les quals donava solucions consistents a diversos problemes físics, pero que no podien ser tractats estrictament com funcions matemàtiques convencionals. Alguns eixemples de problemes a on apareixien estes "cuasi-funcions":

• Problemes a on apareixia la "derivada" d'una funció discontínua. Òbviament en eixe tipo de problemes les derivadas convencionals no estaven definides, pero existien substitucions formals que sugerien que el concepte de funció matemàtica devia ser ampliat per a incloure objectes que pogueren comportar-se com la derivada convencional, pero que fora ademés aplicable a funcions discontínues.
• Igualment Dirac va introduir un objecte matemàtic δ que devia tindre la següent propietat:

$f(a)=\underset{ℝ}{\int }\delta (x-a)f(x)dx$

Encara que eixe objecte matemàtic compartia certes propietats en les funcions referent a la seua integració, es podia provar que no existia cap funció matemàtica convencional δ que fora solució de l'anterior equació.

Els dos problemes anteriors estan relacionats, i la teoria de distribucions va demostrar que poden definir-se un tipo de funcions generalisades o distribucions tals que permeten tractar rigorosament els dos problemes anteriors. El concepte de distribució generalisa al de funció, ya que de fet tota funció matemàtica convencional pot ser considerada també com un cas particular de distribució.

Definició formal

Una distribució convencional sobre $\Omega$ és un element del espai dual topològic del espai vectorial de funcions de classe $C^{\mathrm{\infty }}(\Omega )$ sobre un cert conjunt $\Omega \subset {ℝ}^n$ el soport del qual és un conjunt compacte. És dir, una distribució és un funcional llineal definit sobre un cert espai de funcions diferenciables definides sobre conjunts tancats continguts en $\Omega$. Les funcions definides sobre el conjunt $\Omega$ es diu espai de funciones de prova.

En el cas de les distribucions convencionals sobre $\Omega$ es requerixen dos condicions sobre les funciones test definides sobre $\Omega$:

• Deuen ser infinitament diferenciables, és dir de classe, $C^{\mathrm{\infty }}$.
• Deuen ser funcions el soport de les quals siga compacte.

Si es relaixen les condicions sobre les funcions definides sobre $\Omega$ llavors s'obté una classe de distribucions menys àmplia que les distribucions convencionals. Per eixemple si es substituye la segona condició per la següent condició:

• Les funciones test són funcions d'afluixó ràpit, és dir, tendixen a zero més ràpidament que l'invers de qualsevol polinomi.

La classe de distribucions obtingudes es diu distribucions temperadas.

Soport compacte

• Es diu que una funció de test $\phi$ té soport compacte si el conjunt de punts $K=\overline{\{x|\phi (x)\ne 0\}}$ a on la funció és diferent de zero és compacte.

• Es diu que una distribució S té soport compacte si existix un conjunt compacte K de O tal que per a cada funció de prova $\phi$ el soport de la qual no es interseca en K es té que $S(\phi )=0$

. Alternativament podem definir les distribucions de soport compacte com a funcions llineals contínues sobre l'espai $C^{\mathrm{\infty }}(U)$, en una topología definida sobre este espai per la convergència uniforme.

Derivada d'una distribució

El concepte de derivada distribucional o derivada en el sentit de les distribucions generalisa el concepte de derivada ordinària a distribucions i funciones no-contínues. Esta extensió es realisa a partir del procediment d'integració per parts. Donada una distribució o funció discontínua $f$ la seua derivada en el sentit de les distribucions es definix simplement com l'única funció $f^{\prime }$ que satisfà:

Alguns eixemples de derivades en el sentit distribucional són:

1. La funció bote de Heaviside $\theta (x)$ té per derivada distribucional la delta de Dirac: ${\theta }^{\prime }(x)=\delta (x)$
2. La derivada en el sentit de les distribucions d'una funció diferenciable coincidix en la seua derivada ordinària.
3. La funció valor absolut té per derivada distribucional la funció signe.
4. La funció rampa té per derivada funcional la funció bote de Heaviside.

Convolución

Donades dos distribucions S i T definides sobre algun subconjunt de ${ℝ}^n$ i una d'elles té soport compacte es pot definir una nova distribució anomenada convolución de S i T, que es denota per mig de S ∗ T, definida com seguix: Si φ és una funció de prova sobre $D({ℝ}^n)$ definim:

L'última d'estes tres definicions generalisa el producte de convolución clàssic de funcions. Ademés este producte té, també per a distribucions, la propietat de ser compatible en la derivada en el sentit següent:

Esta definició de convolución seguix sent vàlida encara si es relaixen les restriccions sobre S i T.

Referències

Bibliografia

• Richtmyer, Robert D. (1978): Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-08873-3.
• M. J. Lighthill (1958): Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (definixes distributions as limits of sequences of functions under integrals)
• L. Schwartz (1954): Sur l'impossibilité de la multiplications dones distributions, C. R. Acad. Sci. París 239, pp. 847-848.