Convolución

Convolución

Convolución i correlació. La simetria de la funció f fa que  $g*f$  I  $f*g$  siguen operacions idèntiques en resultats idèntics.

Convolución en un dispositiu òptic (microscopi de fluorescència, cort llongitudinal d'una image 3D).

Convolución de dos polsos quadrats (la funció resultant és un pols triangular).

Archiu:Convolucion de entrada con respuesta al impulso.gif

Convolución d'un pols quadrat (com a senyal d'entrada) en la resposta a l'impuls d'un condensador per a obtindre la senyal d'eixida (resposta del condensador a dita senyal).

Archiu:Convolution3. caps block 0

Explicació visual de la convolución: # S'expressa cada funció en térmens d'una variable fictícia τ. # Reflectir una de les funcions: g(τ) → g(-τ). # S'afig un temps de desplaçament t, lo que permet que g(t - τ) s'esgole a lo llarc de l'eix τ. # Fer t igual a -∞ i esgolar-ho fins a aplegar a +∞. Sempre que les dos funcions es intersequen, es troba l'integral del seu producte. En atres paraules, es calcula el promig ponderat desplaçat de la funció f(τ), a on la funció pese és g(-τ). La forma d'ona resultant (no mostrada ací) és la convolución de les funciones f i g. Si f(t) és un impuls unitari, el resultat d'este procés és simplement g(t), que es denomina per tant la resposta de l'impuls.

En matemàtiques, i en particular anàlisis funcional, una convolución és un operador matemàtic que transforma dos funcions f i g en una tercera funció que en cert sentit representa la magnitut en la que se superponen f i una versió traslladada i invertida de g. Una convolución és un tipo molt general de mija mòvil, com es pot observar si una de les funcions es pren com la funció característica d'un interval.

Definició

La convolución de $f$ i $g$ es denota $f*g$. Es definix com l'integral del producte d'abdós funcions despuix de desplaçar una d'elles una distància $t$.

L'interval d'integració dependrà del domini sobre el que estiguen definides les funcions. En el cas d'un ranc d'integració finito, f i g es consideren a sovint com esteses, periòdicament en abdós direccions, tal que el terme g(t - η) no implique una violació en el ranc. Quan s'usen estos dominis periòdics la convolución a voltes es diu cíclica. Des d'luego que també és possible estendre en zeros els dominis. El nom usat quan es posen en joc estos dominis zero-estesos o be els infinits és el de convolución llineal, especialment en el cas discret que es presentarà avall.

Si $X$ i $Y$ són dos variables aleatòries independents en funciones de densitat de provabilitat f i g, respectivament, llavors la densitat de provabilitat de la suma X + I vindrà donada per la convolución f * g.

Per a les funcions discretes es pot usar una forma discreta de la convolución. Açò és:

Quan es multipliquen dos polinomis, els coeficients del producte estan donats per la convolución de les successions originals de coeficients, en el sentit donat ací (usant extensions en zeros com s'ha mencionat).

Generalisant els casos anteriors, la convolución pot ser definida per a qualssevol dos funcions de quadrat integrable definides sobre un grup topològic localment compacte. Una generalisació diferent és la convolución de distribucions.

Use

La convolución i les operacions relacionades es troben en moltes aplicacions d'ingenieria i matemàtiques.

• En estadística, com un promig mòvil ponderat.
• En teoria de la provabilitat, la distribució de provabilitat de la suma de dos variables aleatòries independents és la convolución de cada una de les seues distribucions de provabilitat.

• En òptica, molts tipos de taques es descriuen en convoluciones. Una ombra (p. eix. l'ombra en la taula quan es té la mà entre esta i la font de llum) és la convolución de la forma de la font de llum que crea l'ombra i de l'objecte l'ombra del qual s'està proyectant. Una fotografia desenfocada és la convolución de l'image correcta en el círcul borroso format pel diafragma del iris.
• En acústica, un eco és la convolución del sò original en una funció que represente els objectes variats que ho reflectixen.
• En ingenieria elèctrica, electrònica i atres disciplines, l'eixida d'un sistema llineal (estacionario o be temps-invariante o espai-invariante) és la convolución de l'entrada en la resposta del sistema a un impuls (vore animacions).
• En física, allí a on hi haja un sistema llineal en un principi de superposició, apareix una operació de convolución.

Vore també

• Deconvolución