Sistema llineal

Un sistema llineal és un model matemàtic d'un sistema basat en l'us d'un operador llineal. Els sistemes llineals generalment exhibixen característiques i propietats que són molt més simples que el cas no llineal. Com a abstracció matemàtica o idealisació, els sistemes llineals troben aplicacions importants en la teoria del control automàtic, el processament de senyals i les telecomunicacions. Per eixemple, el mig de propagació per a sistemes de comunicació inalàmbrica a sovint pot ser modelat per sistemes llineals.

Definició

Artícul principal → Sistema d'equacions llineals.

Un conjunt finito d'equacions llineals en un conjunt finito de variables, per eixemple, $x_1,x_2,\mathrm{...},x_n$ o $x,y,\mathrm{...},z$ es diu un sistema d'equacions llineals o un sistema llineal.

Un sistema determinista general pot ser descrit per un operador, $H$, que assigna una entrada, $x(t)$, com una funció de $t$ a una eixida, $y(t)$, un tipo de descripció de caixa negra. Els sistemes llineals satisfan la propietat de superposició. Donades dos entrades vàlides

$x_1(t)$

$x_2(t)$

aixina com els seus respectius resultats

$y_1(t)=H\{x_1(t)\}$

$y_2(t)=H\{x_2(t)\}$

llavors un sistema llineal deu satisfer

$\alpha y_1(t)+\beta y_2(t)=H\{\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)\}$

per a qualsevol valor escalar $\alpha$ i $\beta$.

El sistema es definix llavors per l'equació $H(x(t))=y(t)$, a on $y(t)$ és alguna funció arbitrària del temps, i $x(t)$ és l'estat del sistema. Dau $y(t)$ i $H$, el sistema pot resoldre's per $x(t)$. Per eixemple, un oscilador harmònic simple obedix a l'equació diferencial:

$m\frac{d^2(x)}{d{t}^2}=-kx$

Si

$H(x(t))=m\frac{d^2(x(t))}{d{t}^2}+kx(t)$

llavors $H$ és un operador llineal. Deixant $y(t)=0$, podem reescriure l'equació diferencial com $H(x(t))=y(t)$, que mostra que un oscilador harmònic simple és un sistema llineal.

El comportament del sistema resultant somés a una entrada complexa pot descriure's com una suma de respostes a entrades més simples. En sistemes no llineals, no existix tal relació. Esta propietat matemàtica fa que la solució d'equacions de modelació siga més simple que molts sistemes no llineals. Per a sistemes invariantes en el temps, esta és la base de la resposta a l'impuls o els métodos de resposta en freqüència (consulte la teoria del sistema LTI), que descriu una funció d'entrada general $x(t)$ en térmens d'impulsos unitaris o components de freqüència.

Les equacions diferencials típiques dels sistemes llineals invariantes en el temps estan ben adaptades a l'anàlisis utilisant la transformada de Laplace en el cas continu i la transformada Z en el cas discret (especialment en implementacions de computadora).

Una atra perspectiva és que les solucions als sistemes llineals comprenen un sistema de funcions que actuen com vectores en sentit geomètric.

Un us comú dels models llineals és descriure un sistema no llineal per linealización. Açò generalment es fa per conveniència matemàtica.

Resposta d'impuls variable en el temps

La resposta d'impuls variable en el temps h (t₂, t₁) d'un sistema llineal es definix com la resposta del sistema en el temps t = t₂ a un impuls individual aplicat en el temps t = t₁. En atres paraules, si l'entrada x (t) a un sistema llineal és

$x(t)=\delta (t-t_1)$

a on δ (t) representa la funció delta de Dirac, i la resposta corresponent i (t) del sistema és

$y(t){|}_{t=t_2}=h(t_2,t_1)$

llavors la funció h(t₂, t₁) és la resposta d'impuls variable del temps del sistema. Com el sistema no pot respondre ans que s'aplique l'entrada, es deu complir la següent condició de causalitat:

$h(t_2,t_1)=0,t_2<t_1$