Sistema no llineal

En matemàtiques, els sistemes no llineals representen sistemes el comportament dels quals no és expressable com la suma dels comportaments dels seus descriptores. Més formalment, un sistema físic, matemàtic o d'un atre tipo és no llineal quan les equacions de moviment, evolució o comportament que regulen el seu comportament són no llineals. En particular, el comportament de sistemes no llineals no està subjecte al principi de superposició, com lo és un sistema llineal.

En diverses branques de les ciències la no linealidad és la responsable de comportaments complexos i, freqüentment, impredictibles o caòtics. La no linealidad freqüentment apareix lligada a la autointeracción, l'efecte sobre el propi sistema de l'estat anterior del sistema.

En física^[1]^[2] matemàtiques,^[3] biologia, ingenieria o economia la no linealidad és inherent a diversos subsistema és una font de problemes complexos, en les últimes décades l'aparició dels ordenadors digitals i la simulació numèrica ha disparat l'interés científic pels sistemes no llineals, ya que per primera volta molts sistemes han pogut ser investigats de manera més o menys sistemàtica.^[4]^[5]^[6] Els sistemes dinàmics no llineals, que descriuen canvis en les variables a lo llarc del temps, poden semblar caòtics, impredictibles o contraintuitivos, lo que contrasta en sistemes llineals molt més senzills.

Com les equacions dinàmiques no llineals són difícils de resoldre, els sistemes no llineals solen aproximar-se per mig d'equacions llineals (linealización). Açò funciona be fins a certa precisió i cert ranc per als valors d'entrada, pero alguns fenomens interessants com solitónés, caos,^[7] i singularitats queden amagats per la linealización. D'això es deduïx que alguns aspectes del comportament dinàmic d'un sistema no llineal poden semblar contraintuitivos, impredictibles o inclús caòtics. Encara que eixe comportament caòtic pot semblar-se al comportament aleatori, en realitat no és aleatori. Per eixemple, alguns aspectes del clima es consideren caòtics, ya que simples canvis en una part del sistema produïxen efectes complexos en tot el sistema. Esta no linealidad és una de les raons per les que és impossible realisar previsions precises a llarc determini en la tecnologia actual.

Introducció

La linealidad d'un sistema permet als investigadors fer certes suposicions matemàtiques i aproximacions, permetent un càlcul més senzill dels resultats. Ya que els sistemes no llineals no són iguals a la suma de les seues parts, usualment són difícils (o impossibles) de modelar, i els seus comportaments sobre una variable donada (per eixemple, el clima) és extremadament difícil de predir.

Alguns sistemes no llineals tenen solucions exactes o integrables, mentres que uns atres tenen comportament caòtic, per lo tant no es poden reduir a una forma simple ni es poden resoldre. Un eixemple de comportament caòtic són les ones jagantes. Encara que alguns sistemes no llineals i equacions d'interés general han segut extensament estudiats, la vasta majoria són pobremente compresos.

Sistemes llineals

Artícul principal → Aplicació llineal.

En matemàtiques una funció llineal és aquella que satisfà les següents propietats (ya que en un sistema té que posar en conjunt de dos o més equacions).

Aditividad: $f (x + y) = f (x) + f (y)$
Homogeneïtat: $f (α x) = α f (x)$

Estes dos regles preses en conjunt es coneixen com Principi de superposició.

Sistemes no llineals

Les equacions no llineals són d'interés en física i matemàtiques degut a que la majoria dels problemes físics són implícitament no llineals en la seua naturalea. Eixemples físics de sistemes llineals són relativament rars. Les equacions no llineals són difícils de resoldre i donen orige a interessants fenomens com la teoria del caos. Una equació llineal pot ser descrita usant un operador llineal, L. Una equació llineal en algun valor desconegut de $u$ té la forma

L u = 0

Una equació no llineal és una equació de la forma:

F (u) = 0

Per a algun valor desconegut de $u$ .

Per a poder resoldre qualsevol equació es necessita decidir en quin espai matemàtic es troba la solució $u$ . Podria ser que $u$ és un número real, un vector o, tal volta, una funció en algunes propietats.

Les solucions d'equacions llineals poden ser generalment descrites com una superposició d'atres solucions de la mateixa equació. Açò fa que les equacions llineals siguen fàcils de resoldre.

Les equacions no llineals són molt més complexes, i molt més difícils d'entendre per la falta de solucions simples superpostes. Per a les equacions no llineals les solucions generalment no formen un espai vectorial i, en general, no poden ser superpostes per a produir noves solucions. Açò fa el resoldre les equacions molt més difícil que en sistemes llineals.

Equacions diferencials no llineals

Es diu que un sistema d'equacions diferencials no és llineal si no és un sistema d'equacions llineals. Els problemes que impliquen equacions diferencials no llineals són extremadament diversos, i els métodos de solució o anàlisis depenen del problema. Eixemples d'equacions diferencials no llineals són les equacions de Navier-Stokes en dinàmica de decorreguts i les equacions de Lotka-Volterra en biologia.

Una de les majors dificultats dels problemes no llineals és que generalment no és possible combinar solucions conegudes en solucions noves. En els problemes llineals, per eixemple, es pot utilisar una família de solucions linealmente independents per a construir solucions generals per mig del principi de superposició. Un bon eixemple d'açò és el transport de calor unidimensional en condicions de contorn de Dirichlet, la solució del qual es pot escriure com una combinació llineal dependent del temps de #sinusoide de diferents freqüències; açò fa que les solucions siguen molt flexibles. A sovint és possible trobar vàries solucions molt específiques per a equacions no llineals, no obstant la falta d'un principi de superposició impedix la construcció de noves solucions.

Equacions diferencials ordinàries

Les equacions diferencials ordinàries de primer orde a sovint són resolubles de manera exacta per mig de la separació de variables, especialment en el cas d'equacions autònomes. Per eixemple, per a l'equació no llineal

\frac{d u}{d x} = - u^{2}

la solució general és $u = \frac{1}{x + C}$ (i també té la solució particular $u = 0,$ corresponent al llímit de la solució general quan C tendix a infinit). L'equació és nolineal ya que li la pot expressar com

\frac{d u}{d x} + u^{2} = 0

i el terme de l'esquerra de l'equació és no és una funció llineal de $u$ i les seues derivades. És de notar que si el terme $u^{2}$ fora reemplaçat per $u$ , llavors el problema seria llineal (el problema de decaiguda exponencial).

Les equacions diferencials ordinàries de segon orde i d'orde superior (més generalment, els sistemes d'equacions no llineals) rara volta donen solucions de forma tancada, encara que es troben solucions implícites i solucions que impliquen integrals no elementals.

Entre els métodos habituals per a l'anàlisis qualitatiu d'equacions diferencials ordinàries no llineals s'inclouen:

Examen de qualsevol cantitat conservativa, especialment el sistema hamiltoniano. Examen de cantitats disipativas (vore funció de Lyapunov) anàlogues les cantitats conservativas.

Linearización via série de Taylor

Canvi de variables a alguna cosa més fàcil d'estudiar

Teoria de forcall
Métodos de destorbament (poden aplicar-se també a equacions algebraiques)

Existència de solucions de duració finita,^[8] lo que pot ocórrer baix condicions específiques per a algunes equacions diferencials ordinàries no llineals.

Equacions diferencials parcials

L'enfocament bàsic més comú per a estudiar equacions diferencials parcials no llineals és canviar les variables (o transformar el problema) per a que el problema resultant siga més simple (possiblement llineal). A voltes, l'equació pot transformar-se en una o més equacions diferencials ordinàries, com es veu en el método de separació de variables, que sempre és útil si l'equació diferencial ordinària resultant (s) és o no resoluble.

Una atra tàctica comuna (encara que menys matemàtica), a sovint explotada en mecànica de decorreguts i de la calor, és utilisar l'anàlisis d'orde de magnitut per a simplificar una equació general i natural en un determinat problema de condició de frontera específic. Per eixemple, les equacions de Navier-Stokes (molt) no llineals poden simplificar-se en una equació diferencial parcial llineal en el cas d'un fluix transitori, laminar i unidimensional en una canonada circular; l'anàlisis d'escala proporciona les condicions en les que el fluix és laminar i unidimensional i també proporciona l'equació simplificada.

Atres métodos inclouen l'examen del método de les característiques i l'us dels métodos descrits anteriorment per a les equacions diferencials ordinàries.

Eixemple: péndola

Archiu:PendulumLayout.svg

Ilustració d'una péndola.

Archiu:PendulumLinearizations.png

Linearizaciones de les equacions del moviment d'una péndola.

Un problema no llineal clàssic i àmpliament estudiat és la dinàmica d'una péndola sense fricció baix l'influència de la gravetat. Utilisant la mecànica Lagrangiana, es pot demostrar^[9] que el desplaçament de la péndola pot ser descripto per l'equació nolineal adimensional

\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \sin (θ) = 0

a on la gravetat apunta cap a "avall" i $θ$ és l'àngul que la péndola forma en la seua posició de repòs, com s'observa en la figura de la dreta. Un método de "resoldre" esta equació és usar $d θ / d t$ com un factor d'integració, la qual cosa resulta en

\int \frac{d θ}{\sqrt{C_{0} + 2 \cos (θ)}} = t + C_{1}

que és una solució implícita que comprén una integral elíptica. Esta "solució" generalment no tenen moltes aplicacions ya que gran part de la naturalea de la solució es troba amagada en l'integral no elemental (no elemental a menos que $C_{0} = 2$ ).

Una atra forma d'abordar el problema és linealizar qualsevol no linealidad (el terme de la funció sen en este cas) en els distints punts d'interés per mig d'expansions de Taylor. Per eixemple, la linealización en $θ = 0$ , cridada la linealización d'aproximació d'àngul menut, és

\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + θ = 0

ya que $\sin (θ) \approx θ$ per a $θ \approx 0$ . Açò és un oscilador harmònic simple corresponent a les oscilacions de la péndola prop del punt inferior de la seua trayectòria. Una atra linealización possible és entorn al punt $θ = π$ , corresponent a la péndola en sentit vertical:

\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + π - θ = 0

ya que $\sin (θ) \approx π - θ$ per a $θ \approx π$ . La solució d'este problema involucra #sinusoide hiperbòliques, i és de notar que a diferència de l'aproximació d'àngul menut, esta aproximació és inestable, o siga $| θ |$ creixerà sense llímit, si be són possibles solucions acotades. Això correspon a la dificultat de balancejar la péndola invertida, la qual cosa és lliteralment un estat inestable.

Una linearización més interessant és possible entorn a $θ = π / 2$ , que resulta $\sin (θ) \approx 1$ :

\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + 1 = 0.

Açò correspon a un problema de caiguda lliure. Es pot obtindre una image qualitativa molt útil de la dinàmica de la péndola juntant estes linealizaciones, com es veu en la figura de la dreta. Es poden utilisar atres tècniques per a trobar retrats de fase (exactes) i periodos aproximats.

Ferramentes per a la solució de certes equacions no llineals

Al dia de hui, existixen moltes ferramentes per a analisar equacions no llineals, per mencionar algunes tenim: dinàmica de sistemes, teorema de la funció implícita i la teoria del forcall

Malinietski G.G. 2006. Fonaments matemàtics de la sinergética. Caos, estructures i simulació per ordenador. [2].

Eixemples de sistemes no llineals

Una important colecció de sistemes físics i d'un atre tipo semblen vindre descrits per sistemes d'equacions d'evolució temporal que de fet són equacions diferencials no llineals, alguns eixemples notoris de no linealidad són els següents:

Les equacions de camp d'Einstein que descriuen el camp gravitatorio dins de la teoria de la relativitat general.

Les equacions de Navier-Stokes de la dinàmica de decorreguts, la complexitat dels quals les ha convertit en un problema matemàtic famós (de fet un problema peculiar lligat a estes equacions constituïx un dels problemes del mileni proposts pel Institut Clay).
La òptica no llineal.
El sistema del temps atmosfèric en la Terra.
El balancege d'un uniciclo robot.
l'equació de transport de Boltzmann.
l'equació de Korteweg-de Vries.
L'equació no llineal de Schrödinger.

Vore també

Referències

↑ “Resonant forcing of nonlinear systems of differential equations” . Chaos 18 (3): 033118. doi:10.1063/1.2964200. PMID 19045456. Bibcode: 2008Chaos..18c3118G.
↑ “Topological properties of a self-assembled electrical network via ab initio calculation” . Sci. Rep. 7: 41621. doi:10.1038/srep41621. PMID 28155863. Bibcode: 2017NatSR...741621S.
↑ System Engineering and Automation: An Interactive Educational Approach, Berlin: Springer, p. 46. ISBN 978-3642202292.
↑ «The Nonlinear Universe».Springer Berlin Heidelberg.
181–276.doi:10.1007/978-3-540-34153-6_7.
↑ “The identification of nonlinear biological systems: Volterra kernel approaches” (en) . Annals of Biomedical Engineering 24 (2): 250–268. doi:10.1007/bf02667354. ISSN 0090-6964. PMID 8678357.
↑ “Some nonlinear challenges in biology” (en) (28 de juliol 2008). Nonlinearity 21 (8): T131. doi:10.1088/0951-7715/21/8/T03. ISSN 0951-7715. Bibcode: 2008Nonli..21..131M.
↑ Nonlinear Dynamics I: Caos [1] archivat en Wayback Machine. en MIT's OpenCourseWare
↑ Vardia T. Haimo (1985). «Finite Clave Differential Equations», 1985 24th IEEE Conference on Decision and Control, pp. 1729–1733. doi:10.1109/CDC.1985.268832.
↑ David Tong: Lectures on Classical Dynamics

Bibliografia

Malinietski G.G. 2006. Fonaments matemàtics de la sinergética. Caos, estructures i simulació per ordenador.
YAN Kun(2011). Nonlinstor-A electronic circuit element based on the form of the nonlinear differential equation (Brief annotation of the connection equation(R)), Xi'an: Xi'an Modern Nonlinear Science Applying Institute.

Enllaços externs

[3].

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Sistema no lineal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] “Resonant forcing of nonlinear systems of differential equations” . Chaos 18 (3): 033118. doi:10.1063/1.2964200. PMID 19045456. Bibcode: 2008Chaos..18c3118G.

[2] “Topological properties of a self-assembled electrical network via ab initio calculation” . Sci. Rep. 7: 41621. doi:10.1038/srep41621. PMID 28155863. Bibcode: 2017NatSR...741621S.

[3] System Engineering and Automation: An Interactive Educational Approach, Berlin: Springer, p. 46. ISBN 978-3642202292.

[4] «The Nonlinear Universe».Springer Berlin Heidelberg.
181–276.doi:10.1007/978-3-540-34153-6_7.

[5] “The identification of nonlinear biological systems: Volterra kernel approaches” (en) . Annals of Biomedical Engineering 24 (2): 250–268. doi:10.1007/bf02667354. ISSN 0090-6964. PMID 8678357.

[6] “Some nonlinear challenges in biology” (en) (28 de juliol 2008). Nonlinearity 21 (8): T131. doi:10.1088/0951-7715/21/8/T03. ISSN 0951-7715. Bibcode: 2008Nonli..21..131M.

[7] Nonlinear Dynamics I: Caos [1] archivat en Wayback Machine. en MIT's OpenCourseWare

[8] Vardia T. Haimo (1985). «Finite Clave Differential Equations», 1985 24th IEEE Conference on Decision and Control, pp. 1729–1733. doi:10.1109/CDC.1985.268832.

[9] David Tong: Lectures on Classical Dynamics

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]