Equació de Boltzmann

En física, específicament en física estadística fora de l'equilibri, la equació de Boltzmann descriu el comportament estadístic d'un sistema termodinàmic fora del equilibri termodinàmic. Esta equació va ser deduïda per Ludwig Boltzmann en 1872. L'eixemple clàssic és un decorregut en gradient de temperatura en l'espai, lo que provoca un fluix de calor de les regions més calentes a les més fredes, causat pel transport (aleatori, pero condicionat per les característiques del sistema) de partícules. En la lliteratura moderna el terme Equació de Boltzmann s'usa a sovint en un sentit més general i es referix a qualsevol equació cinètica que descriu el canvi o evolució de cantitats macroscòpiques en un sistema termodinàmic, tals com l'energia, la càrrega o el número de partícules.

L'equació no es deriva a partir del anàlisis estadístic de totes les posiciones i moments individuals de cada partícula del decorregut, si no a partir de la provabilitat de que un número de partícules ocupe una regió molt chicoteta de l'espai (matemàticament escrit $d^3𝐫$, a on d significa "diferencial", un canvi molt menut) a la que es denota en un vector de posició r, i tinguen un moment també molt definit dins d'una regió molt chicoteta de l'espai de moments (análogamente escrit com $d^3𝐩$) i també denotat per un vector de moment p, en un instant donat de temps.

L'equació de Boltzmann pot ser usada per a entendre cóm evolucionen determinades cantitats físiques, com l'energia, la temperatura i el moment d'un decorregut, i atres propietats característiques de decorreguts com la viscosidad, la conductivitat tèrmica, també la conductivitat elèctrica (en estudiar transport de càrregues en un material com un gas) pot ser derivades. Vore també l'equació de convecció-difusió.

L'equació és una equació diferencial estocàstica en derivades parcials, puix la funció desconeguda en l'equació és una variable aleatòria contínua. El problema d'existència i unicitat de solucions no està encara plenament resolt, pero alguns dels resultats recents són prou prometedors.

Visió general

L'espai de fases i funció de densitat

Al conjunt de totes les possibles posiciones r i moments p es denomina espai de fases del sistema; en atres paraules, un conjunt de tres coordenades per a cada coordenada de posició x, i, z i tres més per a cada component de moment px, py, pz. Dit espai té 6 dimensions: un punt és (r, p) = (x, i, z, p_x, p_i, p_z), i cada coordenada està parametrizada pel temps t. L'element diferencial de volum és

$d^3𝐫d^3𝐩=dxdydzd{p}_{x}d{p}_{y}d{p}_z.$

La provabilitat de que N partícules es troben dins de l'element de volum diferencial donat dalt i centrat en la posició r i en el moment p, és una cantitat que denotem com a f i nos dona esta provabilitat per unitat del volum de l'espai de fases a cada instant de temps t. Esta funció és una funció de densitat de la provabilitat : $f(𝐫,𝐩,t)$, i es definix de modo que,

$dN=f(𝐫,𝐩,t)d^3𝐫d^3𝐩$

és el número de partícules que es troben dins de l'element de volum $d^3𝐫$ centrat en r i que tenen un moment que es troba dins de l'element de volum $d^3𝐩$ centrat en p, en un instant de temps t donat. Integrant sobre totes les possibles posicions i tots els possibles moments s'obté el número total de partícules del problema estudiat:

$N=\underset{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}}{\int }{d}^3𝐫\underset{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\int }{d}^3𝐩f(𝐫,𝐩,t)=\underset{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}}{\iiint }\underset{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\iiint }f(x,y,z,p_x,p_y,p_z,t)dxdydzd{p}_{x}d{p}_{y}d{p}_z$

esta és una integral múltiple en 6 variables. f està associat al número de partícules del problema, pero l'espai de fases és l'espai de fases d'una partícula (no el de totes les partícules, lo que és normalment el cas en sistemes determinista de molts cossos), com només es treballa en un r i p, en este tipo d'anàlisis s'obvia l'us d'índexs, aixina no té sentit definir ${𝐫}_1,{𝐩}_1$ per a partícula 1, ${𝐫}_2,{𝐩}_2$ per a partícula 2, etc. fins a ${𝐫}_N,{𝐩}_N$ per a la partícula N.

Ací s'ha supost que les partícules del sistema són totes idèntiques (totes tenen per eixemple la mateixa massa m). Per a estudiar una mescla de més d'una espècie química, cal definir una distribució de provabilitat f per a cada espècie química, com s'explica més avall.

Resultat principal

L'equació general pot escriure's:

$\frac{df}{dt}={\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{s}}+{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}}+{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}}$

a on el terme "forces" correspon a les forces eixercides sobre les partícules per un camp extern (no per les partícules), com per eixemple el camp gravitatorio terrestre; el terme "dif" (abreviatura de difusió) representa la difusió de partícules, i "col" (abreviatura de colisió) és el terme de colisions, que té en conte les forces internes entre les partícules. Les fòrmules per a cada u dels térmens ací descrits estan donades més avall.

Note's que alguns autors utilisen la velocitat de la partícula v en lloc del moment p, pero estes cantitats estan relacionades en la definició del moment com $𝐩=m𝐯$.

Els térmens de força i difusió

Considere's que les partícules descrites per f experimenten una força externa F l'orige de la qual no són el restant de partícules (vore el terme de colisió per a este últim cas).

Suponga's que a un temps t, un número $𝐍$ de partícules es troben en la posició $𝐫$ dins de l'element $d^3𝐫$ i tenen un moment $𝐩$ dins de $d^3𝐩$. Si una força $𝐅$ actua en eixe instant sobre cada partícula, llavors a un temps $t+\Delta t$ la seua posició serà $𝐫+\Delta 𝐫=𝐫+\frac{\Delta t}{m}𝐩$ i el seu moment $𝐩+\Delta 𝐩=𝐩+𝐅\Delta t$. Per tant, en l'absència de colisions, f té que satisfer

$f(𝐫+\frac{𝐩}{m}\Delta t,𝐩+𝐅\Delta t,t+\Delta t)d^3𝐫d^3𝐩=f(𝐫,𝐩,t)d^3𝐫d^3𝐩$

Note's que hem usat el fet que l'element de volum de l'espai de fases $d^3𝐫d^3𝐩$ és constant, lo que es pot demostrar usant les equacions d'Hamilton (vore la discussió de la teorema de Liouville). No obstant, com és un fet que hi ha colisions entre les partícules, estes provocaran que la densitat de partícules en l'element de volum de l'espai canvie, aixina que

$\begin{array}{cc}d{N}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}}& ={\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}}\Delta t{d}^3𝐫d^3𝐩\\ & =f(𝐫+\frac{𝐩}{m}\Delta t,𝐩+𝐅\Delta t,t+\Delta t)d^3𝐫d^3𝐩-f(𝐫,𝐩,t)d^3𝐫d^3𝐩\\ & =\Delta f{d}^3𝐫d^3𝐩\end{array}$

a on $\Delta f$ És el canvi total en $f$. Dividint dita equació per $d^3𝐫d^3𝐩\Delta t$ i prenent els llímits $\Delta t\to 0$ i $\Delta f\to 0$, tenim

$\frac{df}{dt}={\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}}$

El diferencial total de f és:

$\begin{array}{cc}df& =\frac{\partial f}{\partial t}dt+(\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz)+(\frac{\partial f}{\partial p_x}d{p}_x+\frac{\partial f}{\partial p_y}d{p}_y+\frac{\partial f}{\partial p_z}d{p}_z)\\ & =\frac{\partial f}{\partial t}dt+\mathrm{\nabla }f\cdot d𝐫+\frac{\partial f}{\partial 𝐩}\cdot d𝐩\\ & =\frac{\partial f}{\partial t}dt+\mathrm{\nabla }f\cdot \frac{𝐩dt}{m}+\frac{\partial f}{\partial 𝐩}\cdot 𝐅dt\end{array}$

On $\mathrm{\nabla }$ és l'operador gradient, i · és el producte escalar,

$\frac{\partial f}{\partial 𝐩}={\widehat{𝐞}}_x\frac{\partial f}{\partial p_x}+{\widehat{𝐞}}_y\frac{\partial f}{\partial p_y}+{\widehat{𝐞}}_z\frac{\partial f}{\partial p_z}={\mathrm{\nabla }}_{𝐩}f$

És una abreviatura per a l'equivalent en variables de moment de ∇, _i êx, êy, êz són els vectores unitat cartesianos.

Resultat final

Dividint $df$ per $dt$ i substituint la derivada total en l'equació general, s'obté:

$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{𝐩}{m}\cdot \mathrm{\nabla }f+𝐅\cdot \frac{\partial f}{\partial 𝐩}={\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}}$

En ésti context, F(r, t) és el camp de força que actua sobre les partícules del decorregut, i m és la massa de les partícules. El terme del costat dret s'afig per a descriure l'efecte de les colisions entre les partícules Si és igual a zero, llavors les partícules no colisionen. L'equació de Boltzmann sense colisions a voltes li la denomina equació de Vlasov.

Esta equació és més útil que la més general escrita dalt, pero aixina i tot és una equació incompleta, puix f no pot ser resolt en tant no conegam el terme de colisions. Este terme no és tan fàcil de deduir com els atres, és un terme estadístic que representa les colisions de partícules, i requerix que conegam quina distribució estadística obedixen les partícules: Maxwell–Boltzmann (si són partícules clàssiques), Fermi–Dirac (fermiones) o Bose–Einstein (bosones).