Resistividad

La resistividad és la resistència elèctrica específica d'un determinat material. Es designa per la lletra grega ro minúscula (ρ) i es medix en ohms•metro (Ω m)

$\rho =R\frac{S}{\ell }$

Símbol	Nom	Unitat
$\rho$	Resistividad	Ω m
$R$	Resistència	Ω
$S$	Secció travessera	m2
$\ell$	Llongitut	m

El seu valor descriu el comportament d'un material front al pas de corrent elèctrica: un valor alt de resistividad indica que el material és un aïllant mentres que un valor baix indica que és un conductor.

La conductivitat elèctrica (o conductància específica) és el recíproc de la resistividad elèctrica. Representa la capacitat d'un material per a conduir la corrent elèctrica. Se sol designar en la lletra grega σ (sigma), pero a voltes s'utilisen κ (kappa) (especialment en ingenieria elèctrica) i γ (gamma). L'unitat SI de conductivitat elèctrica és siemens per metro (S/m). La resistividad i la conductivitat són propietats intensives dels materials, que donen l'oposició d'una gaveta estàndar de material a la corrent. La resistència elèctrica i la conductància són propietats extensives corresponents que donen l'oposició d'un objecte específic a la corrent elèctrica.

Resistividad per a electricistes: L'indústria elèctrica suministra conductors elèctrics d'una determinada secció, ademés d'atres característiques. Els professionals de l'electricitat, a l'hora de demanar conductors, ho fan indicant esta secció en milímetros quadrats (mm²) i a l'hora de fer càlculs, també ampren esta unitat, per tant la fòrmula a amprar en el seu treball és la mateixa que figura en el paràgraf anterior, pero en la secció en mm² o siga: $\rho =R\frac{S}{l}=\Omega \frac{m{m}^2}{m}$

A l'hora de calcular la resistència d'un conductor:$R=\rho \frac{l}{S}=\Omega \frac{m{m}^2}{m}\cdot \frac{m}{m{m}^2}=\Omega \cdot 1=\Omega$

Nos quedaria com podem observar la resistència en ohms. La resistividad és l'inversa de la conductivitat elèctrica; per tant, $\rho =1/\sigma$. Usualment, la magnitut de la resistividad (ρ) és la proporcionalitat entre el camp elèctric $𝐄$ i la densitat de corrent de conducció $𝐉$:

Com a eixemple, un material d'1 m de llarc per 1 m d'ample per 1 m d'altura que tinga 1 Ω de resistència tindrà una resistividad (resistència específica, coeficient de resistividad) d'1 Ω•m.

Generalment la resistividad dels metals aumenta en la temperatura, mentres que la resistividad dels semiconductorés disminuïx davant l'aument de la temperatura.

Definició

Case ideal

Archiu:Resistivity geometry.png

Peça de material resistivo en contactes elèctrics en abdós extrems.

En un cas ideal, la secció travessera i la composició física del material examinat són uniformes en tota la mostra, i el camp elèctric i la densitat de corrent són paralels i constants en tots els llocs. Moltes resistències i conductors tenen de fet una secció travessera uniforme en un fluix uniforme de corrent elèctrica, i estan fets d'un únic material, per lo que este és un bon model. (En este cas, la resistència del conductor és directament proporcional a la seua llongitut i inversamente proporcional a la seua secció travessera, a on la resistividad elèctrica ρ (en grec: rho) és la constant de proporcionalitat. Açò s'escriu com:

$$R\propto \frac{\ell }{A}$$$$R=\rho \frac{\ell }{A}$$$$\rho =R\frac{A}{\ell },$$

a on

La resistividad pot expressar-se utilisant l'unitat SI Ohm metro (Ω⋅m) - és dir ohms multiplicats per metros quadrats (per a l'àrea de la secció travessera) i després dividits per metros (per a la llongitut).

Tant la resistència com la resistividad descriuen la dificultat de fer fluir la corrent elèctrica a través d'un material, pero a diferència de la resistència, la resistividad és una propietat intrínseca i no depén de les propietats geomètriques d'un material. Açò significa que tots els fils de coure (Cu) pur (que no han sofrit distorsió en la seua estructura cristalina, etc.), independentment de la seua forma i tamany, tenen la mateixa resistividad, pero un fil de coure llarc i fi té una resistència molt major que un fil de coure gros i curt. Cada material té la seua pròpia resistividad característica. Per eixemple, el caucho té una resistividad molt major que el coure.

En una analogia hidràulica, passar corrent a través d'un material d'alta resistividad és com espentar aigua a través d'una canonada plena d'arena - mentres que passar corrent a través d'un material de baixa resistividad és com espentar aigua a través d'una canonada buida. Si les canonades tenen el mateix tamany i la mateixa forma, la canonada plena d'arena presenta una major resistència al fluix. No obstant, la resistència no ve determinada únicament per la presència o absència d'arena. També depén de la llongitut i l'esgambi de la canonada: les canonades curtes o amples tenen menor resistència que les estretes o llargues.

Plantilla:Anchor <!-La llei de Pouillet redirigix ací--> L'equació anterior pot transponerse per a obtindre la llei de Pouillet' (cridada aixina per Claude Pouillet):

$$R=\rho \frac{\ell }{A}.$$La resistència d'un element donat és proporcional a la llongitut, pero inversamente proporcional a l'àrea de la secció travessera. Per eixemple, si A = 1 m², $\ell$ = 1 m (formant una gaveta en contactes perfectament conductors en cares opostes), llavors la resistència d'este element en ohms és numèricament igual a la resistividad del material del que està fet en Ω⋅m.

La conductivitat, σ, és l'inversa de la resistividad:

$$\sigma =\frac{1}{\rho }.$$

La conductivitat té unitats SI de siemens per metro (S/m).

Cantitats escalares generals

Per a casos menys ideals, com a geometria més complicades, o quan la corrent i el camp elèctric varien en distintes parts del material, és necessari utilisar una expressió més general en la que la resistividad en un punt concret es definix com la relació entre el camp elèctric i la densitat de la corrent que crea en eixe punt:

$$\rho =\frac{E}{J},$$

a on

en el que $E$ i $J$ estan dins del conductor.

La conductivitat és l'inversa (recíproca) de la resistividad. En este cas, ve donada per:

$$\sigma =\frac{1}{\rho }=\frac{J}{E}.$$

Per eixemple, el caucho és un material en gran ρ i chicotet σ - perque inclús un camp elèctric molt gran en el caucho fa que casi no fluïxca corrent a través d'ell. Per un atre costat, el coure és un material en ρ chicotet i σ gran - perque inclús un camp elèctric chicotet fa que passe molta corrent a través d'ell.

Com es mostra a continuació, esta expressió se simplifica a un sol número quan el camp elèctric i la densitat de corrent són constants en el material.

Resistividad tensorial

Quan la resistividad d'un material té una component direccional, deu utilisar-se la definició més general de resistividad. Part de la forma tensor-vectorial de la llei de Ohm, que relaciona el camp elèctric en l'interior d'un material en el fluix de corrent elèctrica. Esta equació és completament general, lo que significa que és vàlida en tots els casos, inclosos els mencionats anteriorment. No obstant, esta definició és la més complicada, per lo que només s'utilisa directament en casos d'anisótropo, en els que no es poden aplicar les definicions més senzilles. Si el material no és anisótropo, és segur ignorar la definició tensor-vectorial, i usar una expressió més simple en el seu lloc.

En este cas, anisótropo significa que el material té propietats diferents en distintes direccions. Per eixemple, un cristal de grafit consistix microscópicamente en una pila de làmines, i la corrent fluïx molt fàcilment a través de cada làmina, pero molt manco fàcilment d'una làmina a l'adjacent. En tals casos, la corrent no fluïx exactament en la mateixa direcció que el camp elèctric. Per lo tant, les equacions apropiades es generalisen a la forma tensorial tridimensional:.

$$𝐉=𝝈𝐄\rightleftharpoons 𝐄=𝝆𝐉,$$

a on la conductivitat σ i la resistividad ρ són tensorés de ranc 2, i el camp elèctric I i la densitat de corrent J són vectores. Estos tensors poden ser representats per matrius 3×3, els vectores en matrius 3×1, en multiplicació matricial utilisada en el costat dret d'estes equacions. En forma matricial, la relació de resistividad ve donada per:

$$\left[\begin{array}{c}{E}_x\\ E_y\\ E_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\rho }_{xx}& {\rho }_{xy}& {\rho }_{xz}\\ {\rho }_{yx}& {\rho }_{yy}& {\rho }_{yz}\\ {\rho }_{zx}& {\rho }_{zy}& {\rho }_{zz}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{J}_x\\ J_y\\ J_z\end{array}\right],$$

a on

Equivalentement, la resistividad pot donar-se en la més compacta notació d'Einstein:

$${𝐄}_i={𝝆}_{ij}{𝐉}_j.$$

En qualsevol cas, l'expressió resultant per a cada component del camp elèctric és:

$$\begin{array}{cc}{E}_x& ={\rho }_{xx}{J}_x+{\rho }_{xy}{J}_y+{\rho }_{xz}{J}_z,\\ E_y& ={\rho }_{yx}{J}_x+{\rho }_{yy}{J}_y+{\rho }_{yz}{J}_z,\\ E_z& ={\rho }_{zx}{J}_x+{\rho }_{zy}{J}_y+{\rho }_{zz}{J}_z.\end{array}$$

Ya que l'elecció del sistema de coordenades és lliure, la convenció habitual és simplificar l'expressió per mig de l'elecció d'un x-eix paralel a la direcció actual, per lo que J_i = J_z = 0. Açò deixa:

$${\rho }_{xx}=\frac{E_x}{J_x},{\rho }_{yx}=\frac{E_y}{J_x},\text{ and }{\rho }_{zx}=\frac{E_z}{J_x}.$$

La conductivitat es definix de forma similar

$$\left[\begin{array}{c}{J}_x\\ J_y\\ J_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\sigma }_{xy}& {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{yx}& {\sigma }_{yy}& {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{zx}& {\sigma }_{zy}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_x\\ E_y\\ E_z\end{array}\right]$$

o

$${𝐉}_i={𝝈}_{ij}{𝐄}_j,$$

abdós resulten en lo següent

$$\begin{array}{cc}{J}_x& ={\sigma }_{xx}{E}_x+{\sigma }_{xy}{E}_y+{\sigma }_{xz}{E}_z\\ J_y& ={\sigma }_{yx}{E}_x+{\sigma }_{yy}{E}_y+{\sigma }_{yz}{E}_z\\ J_z& ={\sigma }_{zx}{E}_x+{\sigma }_{zy}{E}_y+{\sigma }_{zz}{E}_z\end{array}.$$

Observant les dos expressions, $𝝆$ i $𝝈$ són la matriu inversa una de l'atra. No obstant, en el cas més general, els elements individuals de la matriu no són necessàriament recíprocs entre sí; per eixemple, σ_xx pot no ser igual a 1/ρ_xx. Açò pot vore's en l'efecte Hall, a on ${\rho }_{xy}$ és distint de zero. En l'efecte Hall, per la invariancia rotacional al voltant de l'eix z, ${\rho }_{yy}={\rho }_{xx}$ i ${\rho }_{yx}=-{\rho }_{xy}$, per lo que la relació entre resistividad i conductivitat se simplifica a:

$${\sigma }_{xx}=\frac{{\rho }_{xx}}{{\rho }_{xx}^2+{\rho }_{xy}^2},{\sigma }_{xy}=\frac{-{\rho }_{xy}}{{\rho }_{xx}^2+{\rho }_{xy}^2}.$$

Si el camp elèctric és paralel a la corrent aplicada, ${\rho }_{xy}$ i ${\rho }_{xz}$ són zero. Quan són zero, un número, ${\rho }_{xx}$, és suficient per a descriure la resistividad elèctrica. Llavors s'escriu simplement $\rho$, i açò es reduïx a l'expressió més simple.

Taula de resistividades d'alguns materials

Material	Resistividad (en 20 °C-25 °C) (Ω·m).
Grafeno	1,00 x 10-8
Argent	1,59 x 10-8
Coure	1,71 x 10-8
Or	2,35 x 10-8
Alumini	2,82 x 10-8
Wolframio	5,65 x 10-8
Níquel	6,40 x 10-8
Ferro	8,90 x 10-8
Platí	10,60 x 10-8
Estany	11,50 x 10-8
Acer inoxidable 301	72,00 x 10-8
Grafit	60,00 x 10-8

Resistividad elèctrica de metals purs a temperatures entre 0 i 27 °C (10^-8 Ω⋅m):

L'argent metàlic és el millor conductor de l'electricitat a temperatura ambiente.