Tensor

En matemàtiques, un tensor és un objecte algebraic que descriu una relació multilineal entre conjunts d'objectes algebraics relacionats en un espai vectorial. Entre els objectes que els tensors poden representar s'inclouen vectorés i escalares, i inclús atres tensors. Hi ha molts tipos de tensors, inclosos escalares i vectores (que són els tensors més simples), vectores duals, aplicacions multilineales entre espais vectorials i inclús algunes operacions com el producte escalar. Els tensors es definixen independentment de qualsevol base, encara que a sovint es fa referència a ells pels seus components en una base relacionada en un sistema de coordenades particular.

Els tensors s'han tornat importants en física perque proporcionen un marc matemàtic conciso per a formular i resoldre problemes de física en àrees com la mecànica (tensió, elasticitat, mecànica de decorreguts, moment d'inèrcia entre uns atres), electrodinàmica (tensor electromagnètic, tensor de Maxwell, permitividad, susceptibilitat magnètica), o relativitat general (tensor tensió-energia, tensor de curvatura,...) i uns atres. En les aplicacions, és comuna estudiar situacions en les que pot ocórrer un tensor diferent en cada punt d'un objecte; per eixemple, la tensió dins d'un objecte pot variar d'un lloc a un atre. Açò conduïx al concepte de camp tensorial. En algunes àrees, els camps tensoriales són tan omnipresents que a sovint se'ls crida simplement "tensors".

Tullio Levi-Civita i Gregorio Ricci-Curbastro varen popularisar els tensors en 1900, continuant el treball anterior de Bernhard Riemann i Elwin Bruno Christoffel i uns atres, com a part del càlcul diferencial absolut. El concepte va permetre una formulació alternativa de la geometria diferencial intrínseca d'una varietat en la forma del tensor de curvatura de Riemann.

Definició

Encara que aparentment diferents, els diversos enfocaments per a definir tensors descriuen el mateix concepte geomètric utilisant un llenguage diferent i en diferents nivells d'abstracció. Per eixemple, els tensors es definixen i analisen per a aplicacions estadístiques i d'aprenentage automàtic.^[1] D'eixe modo el tensor rep dimensionalidad. Un tensor de primer ranc és de magnitut escalar, per eixemple, mentres que un tensor de segon ranc es torna un vector en una matriu de dos dimensions. Un n-contra-tensor no és més que un tipo particular de tensor: un tensor contravariante de valència $[\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}]$ . Per a n = 1 tenim un tensor elemental: un vector columna.

Com a matrius multidimensionales

Un tensor pot representar-se com una matriu (potencialment multidimensional). Aixina com un vector en un espai n-dimensional està representat per una matriu unidimensional en n components sobre una determinada base, qualsevol tensor sobre una base està representat per una matriu multidimensional. Per eixemple, un operador llineal es representa sobre una base com una matriu bidimensional quadrada $n \times n$ . Els números en la matriu multidimensional es coneixen com els components escalares del tensor o simplement els seus components. S'indiquen per mig d'índexs que donen la seua posició en la matriu, com a subíndexs i superíndexs, seguint el nom simbòlic del tensor. Per eixemple, els components d'un tensor $T$ d'orde $2$ podria ser denotat $T ij$ , a on $i$ i $j$ són índexs que van de $1$ a $n$ , o també per $T Plantilla:La seua$ . El fet de que un índex es mostre com a superíndex o subíndex depén de les propietats de transformació del tensor, que es descriuen a continuació. Aixina, mentres que $T ij$ i $T Plantilla:La seua$ abdós poden expressar-se per matrius de n x n, i estan relacionats numèricament a través dels seus índexs, la diferència en les seues lleis de transformació indica que seria incorrecte sumar-los. El número total d'índexs necessaris per a identificar cada component de forma única és igual a la dimensió de la matriu i es denomina orde, grau o ranc del tensor. No obstant, el terme "ranc" generalment té un atre significat en el context de matrius i tensors.

Aixina com les components d'un vector canvien quan canviem la base de l'espai vectorial, les components d'un tensor també canvien baix tal transformació. Cada tipo de tensor ve equipat en una llei de transformació que detalla cóm els components del tensor responen a un canvi de base. Els components d'un vector poden respondre de dos formes distintes a un canvi de base (vore covarianza i contravarianza de vectores ), a on els nous vectores base ${\hat{𝐞}}_{i}$ s'expressen en térmens dels vectores base antics $𝐞_{j}$ com,

${\hat{𝐞}}_{i} = \sum_{j = 1}^{n} 𝐞_{j} R_{i}^{j} = 𝐞_{j} R_{i}^{j} .$

Ací R^j_i són les entrades de la matriu de canvi de base, i en l'expressió més a la dreta es va suprimir el signe de suma: est és el conveni de suma d'Einstein, el qual s'utilisarà a lo llarc d'este artícul.^[2] Els components vⁱ d'un vector columna v es transformen en l'inversa de la matriu R,

{\hat{v}}^{i} = {(R^{- 1})}_{j}^{i} v^{j},

a on el capell denota els components de la nova base. Açò es diu llei de transformació contravariante, perque els components del vector es transformen per l'invers del canvi de base. En contrast, els components, w_i, d'un covector (o vector fila), w es transformen en la matriu R mateixa,

{\hat{w}}_{i} = w_{j} R_{i}^{j} .

Açò es denomina llei de transformació covariant, perque els components del covector es transformen per mig de la mateixa matriu que la matriu de canvi de base. Els components d'un tensor més general es transformen per mig d'alguna combinació de transformacions covariants i contravariantes, en una llei de transformació per a cada índex. Si la matriu de transformació d'un índex és la matriu inversa de la transformació base, llavors l'índex es diu contravariante i es denota convencionalment en un índex superior (superíndex). Si la matriu de transformació d'un índex és la transformació de base en sí, llavors l'índex es diu covariant i es denota en un índex més baix (subíndex).

Com a eixemple simple, la matriu d'un operador llineal sobre una base és un apany rectangular $T$ que es transforma baix una matriu de canvi de base $R = (R_{i}^{j})$ per $\hat{T} = R^{- 1} T R$ . Per a les entrades individuals de la matriu, esta llei de transformació té la forma ${\hat{T}}_{j^{'}}^{i^{'}} = {(R^{- 1})}_{i}^{i^{'}} T_{j}^{i} R_{j^{'}}^{j}$ per lo que el tensor corresponent a la matriu d'un operador llineal té un índex covariant i un contravariante: és de tipo (1,1).

Les combinacions de components covariants i contravariantes en el mateix índex nos permeten expressar invariantes geomètriques. Per eixemple, el fet de que un vector siga el mateix objecte en diferents sistemes de coordenades pot ser capturat per les següents equacions, usant les fòrmules definides anteriorment:

𝐯 = {\hat{v}}^{i} {\hat{𝐞}}_{i} = ({(R^{- 1})}_{j}^{i} v^{j}) (𝐞_{k} R_{i}^{k}) = ({(R^{- 1})}_{j}^{i} R_{i}^{k}) v^{j} 𝐞_{k} = δ_{j}^{k} v^{j} 𝐞_{k} = v^{k} 𝐞_{k} = v^{i} 𝐞_{i}

,

a on $δ_{j}^{k}$ és la delta de Kronecker, que funciona de manera similar a la matriu identitat, i té l'efecte de renombrar als índexs (j en k en este eixemple).Açò mostra vàries característiques de la notació de components: la capacitat de reorganisar els térmens a voluntat (conmutatividad), la necessitat d'usar diferents índexs quan es treballa en varis objectes en la mateixa expressió, la capacitat de canviar el nom dels índexs i la forma en que la contravariante i els tensors covariants es combinen per a que totes les instàncies de la matriu de transformació i la seua inversa es cancelen, de modo que expressions com $v^{i} 𝐞_{i}$ immediatament es pot vore que és geomètricament idèntica en tots els sistemes de coordenades..

De manera similar, un operador llineal, vist com un objecte geomètric, en realitat no depén d'una base: és solament una aplicació llineal que accepta un vector com a argument i produïx un atre vector. La llei de transformació de cóm la matriu de components d'un operador llineal canvia en la base és consistent en la llei de transformació per a un vector contravariante, de modo que l'acció d'un operador llineal sobre un vector contravariante es representa en coordenades com el producte matricial de la seua respectives representacions de coordenades. És dir, els components $(T v)^{i}$ són donades per $(T v)^{i} = T_{j}^{i} v^{j}$ . Estos components es transformen de forma contravariante, ya que

{(\hat{T v})}^{i^{'}} = {\hat{T}}_{j^{'}}^{i^{'}} {\hat{v}}^{j^{'}} = [{(R^{- 1})}_{i}^{i^{'}} T_{j}^{i} R_{j^{'}}^{j}] [{(R^{- 1})}_{j}^{j^{'}} v^{j}] = {(R^{- 1})}_{i}^{i^{'}} (T v)^{i} .

La llei de transformació per a un tensor d'orde $p + q$ en p índexs contravariantes i q índexs covariants queda expressada com,

{\hat{T}}_{j'_{1}, \dots, j'_{q}}^{i'_{1}, \dots, i'_{p}} = {(R^{- 1})}_{i_{1}}^{i'_{1}} \dots {(R^{- 1})}_{i_{p}}^{i'_{p}}

T_{j_{1}, \dots, j_{q}}^{i_{1}, \dots, i_{p}}

R_{j'_{1}}^{j_{1}} \dots R_{j'_{q}}^{j_{q}} .

Ací, els índexs en comilla denoten components en les noves coordenades, i els índexs sense comilla denoten les components en les coordenades antigues. Es diu que tal tensor és d'orde o tipo $(p, q)$ . Els térmens "orde", "tipo", "ranc", "valència" i "grau" s'utilisen a voltes per al mateix concepte. Ací, el terme "orde" o "orde total" s'utilisarà per a la dimensió total de la matriu (o la seua generalisació en atres definicions), $p + q$ en l'eixemple anterior, i el terme "tipo" per al parell que dona el número d'índexs contravariantes i covariants. Un tensor de tipo $(p, q)$ també és denominat un tensor $(p, q)$ en forma abreviada.

Com a aplicacions multilineales

Una desventaja de la definició d'un tensor utilisant l'enfocament de matriu multidimensional és que no és evident a partir de la definició que l'objecte definit siga de fet independent de la base, com s'espera d'un objecte intrínsecament geomètric. Encara que és possible demostrar que les lleis de transformació de fet garantisen l'independència de la base, a voltes es preferix una definició més intrínseca. Un enfocament que és comú en la geometria diferencial és definir tensors en relació en un espai vectorial fix (de dimensió finita) V, que generalment es considera un espai vectorial particular d'algun significat geomètric com l'espai tangente a una varietat.^[3] En este enfocament, un tipo de tensor T (p, q) es definix com una aplicació multilineal,

T : \underset{p copias}{\underset{⏟}{V^{*} \times \dots \times V^{*}}} \times \underset{q copias}{\underset{⏟}{V \times \dots \times V}} \to 𝐑,

a on V^∗ és el corresponent espai dual de covectores, que és llineal en cada u dels seus arguments. Lo anterior supon que V és un espai vectorial sobre els número real, ℝ. De manera més general, V es pot prendre sobre qualsevol camp F (per eixemple els número complejo), en F reemplaçant a ℝ com el codominio de les aplicacions multilineales.

Aplicant una aplicació multilineal T del tipo (p, q) a una base {i_j} per aV i una cobasis canònica {εⁱ} per a V^∗,

T_{j_{1} \dots j_{q}}^{i_{1} \dots i_{p}} \equiv T (𝜺^{i_{1}}, \dots, 𝜺^{i_{p}}, 𝐞_{j_{1}}, \dots, 𝐞_{j_{q}}),

s'obté un apany (p + q)-dimensional de components. Una elecció diferent de base produirà components diferents. Pero, degut a que T és llineal en tots els seus arguments, els components satisfan la llei de transformació del tensor utilisada en la definició de matriu multilineal. La matriu multidimensional de components de T per lo tant forma un tensor d'acort en eixa definició. Ademés, tal matriu es pot realisar com els components d'alguna aplicació T multilineal. Açò motiva a vore les aplicacions multilineales com els objectes intrínsecs subjacents als tensors.

En la visualisació d'un tensor com una aplicació multilineal, és convencional per a identificar la doble dual V ** de l'espai vectorial V, és dir, l'espai de funcionals llineals en l'espai dual vector V *, en l'espai vectorial V. Sempre hi ha una aplicació llineal natural de V al seu doble dual, donada per mig de l'evaluació d'una forma llineal en V * en contra d'un vector en V. Esta aplicació llineal és un isomorfisme en dimensions finitas i, a sovint, és convenient identificar V en el seu doble dual.

Usant productes tensoriales

Per a algunes aplicacions matemàtiques, a voltes és útil un enfocament més abstracte. Açò es pot conseguir definint tensors en térmens d'elements de productes tensoriales d'espais vectorials, que a la seua volta es definixen per mig d'una propietat universal. Un tensor de tipo ( p, q ) es definix en este context com un element del producte tensorial d'espais vectorials,^[4]^[5]

T \in \underset{p copias}{\underset{⏟}{V \otimes \dots \otimes V}} \otimes \underset{q copias}{\underset{⏟}{V^{*} \otimes \dots \otimes V^{*}}} .

Una base $v i$ de $V$ i la base $w j$ de $W$ naturalment induïx una base $v i \otimes w j$ del producte de tensors $V \otimes W$ . Els components d'un tensor $T$ són els coeficients del tensor sobre la base obtinguda d'una base ${i i}$ per a $V$ i la seua base dual ${ε j}$ , o siga.

T = T_{j_{1} \dots j_{q}}^{i_{1} \dots i_{p}} 𝐞_{i_{1}} \otimes \dots \otimes 𝐞_{i_{p}} \otimes 𝜺^{j_{1}} \otimes \dots \otimes 𝜺^{j_{q}} .

Usant les propietats del producte tensorial, es pot demostrar que estos components satisfan la llei de transformació per a un tensor de tipo $(p, q)$ . Per una atra part, la propietat universal del producte tensorial dona una correspondència $1$ -a- $1$ entre tensors definits d'esta manera i tensors definits com a funcions multilineales.

Esta correspondència 1 a 1 es pot archivar de la següent manera, perque en el cas de dimensió finita existix un isomorfisme canònic entre un espai vectorial i el seu doble dual:

$U \otimes V ≅ (U^{* *}) \otimes (V^{* *}) ≅ {(U^{*} \otimes V^{*})}^{*} ≅ {Hom}^{2} (U^{*} \times V^{*}; 𝔽)$

L'última llínea usa la propietat universal del producte tensorial, que existix una correspondència d'1 a 1 entre les aplicacions de ${Hom}^{2} (U^{*} \times V^{*}; 𝔽)$ i $Hom (U^{*} \otimes V^{*}; 𝔽)$ .^[6]

Els productes tensoriales es poden definir en gran generalitat, per eixemple, que involucren mòduls arbitraris sobre un anell. En principi, es podria definir un "tensor" simplement com un element de qualsevol producte tensorial. No obstant, la lliteratura matemàtica generalment reserva el terme tensor per a un element d'un producte tensorial de qualsevol número de còpies d'un sol espai vectorial V i el seu dual, com es va indicar anteriorment.

Tensors en infinites dimensions

Esta discussió dels tensors fins ara assumix una dimensionalidad finita dels espais involucrats, a on els espais dels tensors obtinguts per cada una d'estes construccions són naturalment isomòrfics.^[7] Les construccions d'espais de tensors basades en el producte tensorial i les aplicacions multilineales es poden generalisar, essencialment sense modificació, a fas de vectores o poleas coherents.^[8] Per a espais vectorials de dimensió infinita, les topología inequivalentes conduïxen a nocions inequivalentes de tensor, i estos diversos isomorfismes poden o no ser vàlits depenent de lo que se signifique exactament per un tensor (vore producte de tensor topològic). En algunes aplicacions, és el producte tensorial dels espais de Hilbert, és dir, les propietats dels quals són les més similars al cas de dimensió finita. Una visió més moderna és que és l'estructura dels tensors com una categoria monoidal simètrica la que codifica les seues propietats més importants, en lloc dels models específics d'eixes categories.^[9]

Campos tensoriales

En moltes aplicacions, especialment en geometria diferencial i física, és natural considerar un tensor en components que són funcions del punt en un espai. Est va ser l'escenari de l'obra original de Ricci. En la terminologia matemàtica moderna, tal objecte es denomina camp tensor, a sovint denominat simplement tensor.

En este context, a sovint s'elegix una base de coordenades per a l'espai vectorial tangente. La llei de transformació pot llavors expressar-se en térmens de derivades parcials de les funcions de coordenades,

{\bar{x}}^{i} (x^{1}, \dots, x^{n}),

definir una transformació de coordenades,

{\hat{T}}_{j'_{1} \dots j'_{q}}^{i'_{1} \dots i'_{p}} ({\bar{x}}^{1}, \dots, {\bar{x}}^{n}) = \frac{\partial {\bar{x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}} \dots \frac{\partial {\bar{x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}} \frac{\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar{x}}^{j'_{1}}} \dots \frac{\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar{x}}^{j'_{q}}} T_{j_{1} \dots j_{q}}^{i_{1} \dots i_{p}} (x^{1}, \dots, x^{n}) .

Aplicacions

Una aplicació dels tensors és la biblioteca TensorFlow desenrollada per Google en 2015. Esta biblioteca està dissenyada per a construir i entrenar rets neuronals a on els nodos són equacions matemàtiques i les arestes són tensors. Llavors, en estes rets neuronals es realisen operacions matemàtiques sobre tensors o apanys multidimensionales.

L'us de TensorFlow està principalment dirigit a les rets neuronals de tipo Deep Learning a on es tenen múltiples capes amagades d'operacions intermiges abans d'entregar una eixida, per ad açò Google seguix sent una de les principals empreses que fan us de la tecnologia. També és de notar que TensorFlow és més eficient en màquines de tipo clúster, a on un nodo mestre repartix el càlcul corresponent al TensorFlow entre vàries màquines, de tal forma que el càlcul siga més eficient i ràpit; açò és conegut com TensorFlow distribuït.

Quadro sinóptico temàtic

TENSORS

En matemàtiques

• Sistema de coordenades • Geometria diferencial • Àlgebra diàdica • Geometria euclidiana • Forma diferencial • Àlgebra multilineal • Àlgebra tensorial • Càlcul tensorial

En física i ingenieria

• Visió artificial

• Mecànica de mijos continus • Electromagnetisme • Relativitat general • Fenomens de transport

Notació

• Notació d'índexs abstracta • Conveni de suma d'Einstein • Índex (matemàtica) • Notació multi-índex • Notació gràfica de Penrose • Càlcul tensorial • Tétrada (notació indexada) • Notació de Van der Waerden • Notació Voigt

Definicions

• Tensor (definició intrínseca) • Espai tensorial • Camp tensorial • Densitat tensorial • Tensors en coordenades curvilíneas • Tensor mixt • Tensor antisimètric • Tensor simètric • Operador tensorial • Fes tensorial • Tensor de dos punts

Operacions

• Derivada covariant • Derivada covariant exterior • Derivada exterior • Producte exterior • Dual de Hodge • Derivada de Lie • Llei de pujar o baixar índexs (tensors) • Simetrización • Contracció tensorial • Producte tensorial • Matriu transpuesta (tensors de 2º orde)

Temes
relacionats

• Conexió afí • Bases • Formalisme de Cartan • Forma de conexió • Covarianza i contravarianza • Forma diferencial • Dimensió • Forma diferencial • Fibrado • Llínea geodèsica • Desviació geodèsica • Conexió de Levi-Civita • Aplicació llineal • Varietat (matemàtiques) • Matrix • Multivector • Seudotensor • Espinor • Vector • Espai vectorial

Tensors notables
en matemàtiques

• Delta de Kronecker • Símbol de Levi-Civita • Tensor cartesiano • Tensor mètric • Tensor mètric invers • Tensor de no metricidad • Tensor de Ricci • Tensor de curvatura • Tensor de torsió • Tensor de Weyl

Tensors notables
en física i ingenieria

• Moment d'inèrcia • Moment angular • Impedència mecànica • Tensor d'espin • Tensor de tensió • Tensor de constants elàstiques • Tensor de densitat de fluix de impulsión • Tensor d'energia-impulse • Tensor de camp electromagnètic • Tensor d'intensitat de camp de gluones • Tensor mètric (relativitat general) • Tensor de Maxwell • Tensor d'Einstein • Tensor de Bel-Robinson • Tensor de Killing • Tensor de Killing-Yano

Matemàtics
notables

• Élie Cartan • Augustin Louis Cauchy • Elwin Bruno Christoffel • Albert Einstein • Leonhard Euler • Carl Friedrich Gauss • Hermann Grassmann • Tullio Levi-Civita • Gregorio Ricci-Curbastro • Bernhard Riemann • Jan Arnoldus Schouten • Woldemar Voigt • Hermann Weyl

Terminologia

• Glossari de la teoria de tensors

Referències

↑ (2021).«Tensors in Statistics.».Annual Review of Statistics and Its Application.8(1)
annurev.doi:10.1146/annurev-statistics-042720-020816.
↑ The Einstein summation convention, in brief, requires the sum to be taken over all values of the index whenever the same symbol appears as a subscript and superscript in the same term. For example, under this convention $B_{i} C^{i} = B_{1} C^{1} + B_{2} C^{2} + \dots B_{n} C^{n}$
↑ (2000).«Introduction to smooth manifolds».Springer.
↑ (1991).«Tensor geometry».Springer.130
↑ Plantilla:Springer
↑ https://math.stackexchange.com/users/568204/peek-a-boo. «Why llaure Tensors (Vectors of the form a⊗b...⊗z) multilinear maps?».
↑ The double duality isomorphism, for instance, is used to identify V with the double dual space V^∗∗, which consists of multilinear forms of degree one on V^∗. It is typical in linear algebra to identify spaces that llaure naturally isomorphic, treating them as the same space.
↑ Bourbaki, N.. «3», Algebra I: Chapters 1-3, Springer Science & Business Mija. ISBN 978-3-540-64243-5. where the case of finitely generated projective modules is treated. The global sections of sections of a vector bundle over a compact space form a projective module over the ring of smooth functions. All statements for coherent sheaves llaure true locally.
↑ (1993).«Braided tensor categories».Advances in Mathematics.102
20–78.

Enllaços externs

Tensor en Wikimedia Commons.

Plantilla:Mathworld
(1976) Introduction to Vectors and Tensors, Vol 1: Linear and Multilinear Algebra, New York, NY.: Plenum Press.
(2006) Introduction to Vectors and Tensors, Vol 2: Vector and Tensor Analysis.

An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering by Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, released by NASA
Foundations of Tensor Analysis for Students of Physics and Engineering With an Introduction to the Theory of Relativity by Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, released by NASA
A discussion of the various approaches to teaching tensors, and recommendations of textbooks
Plantilla:Cite arxiv
Richard Feynman's lecture on tensors.
«Qué és Deep Learning» (en espanyol). Consultat el setembre 11, 2021.
«WTF is a Tensor?!?» (en anglés). Consultat el setembre 10, 2021.
«What llaure tensors? How llaure they used in Machine Learning.» (en anglés). Consultat el setembre 18, 2021.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Tensor» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2021).«Tensors in Statistics.».Annual Review of Statistics and Its Application.8(1)
annurev.doi:10.1146/annurev-statistics-042720-020816.

[2] The Einstein summation convention, in brief, requires the sum to be taken over all values of the index whenever the same symbol appears as a subscript and superscript in the same term. For example, under this convention $B_{i} C^{i} = B_{1} C^{1} + B_{2} C^{2} + \dots B_{n} C^{n}$

[3] (2000).«Introduction to smooth manifolds».Springer.

[4] (1991).«Tensor geometry».Springer.130

[5] Plantilla:Springer

[6] ttps://math.stackexchange.com/users/568204/peek-a-boo. «Why llaure Tensors (Vectors of the form a⊗b...⊗z) multilinear maps?».

[7] The double duality isomorphism, for instance, is used to identify V with the double dual space V^∗∗, which consists of multilinear forms of degree one on V^∗. It is typical in linear algebra to identify spaces that llaure naturally isomorphic, treating them as the same space.

[8] Bourbaki, N.. «3», Algebra I: Chapters 1-3, Springer Science & Business Mija. ISBN 978-3-540-64243-5. where the case of finitely generated projective modules is treated. The global sections of sections of a vector bundle over a compact space form a projective module over the ring of smooth functions. All statements for coherent sheaves llaure true locally.

[9] (1993).«Braided tensor categories».Advances in Mathematics.102
20–78.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]