Densitat tensorial

En geometria diferencial, la densitat tensorial o tensor relatiu és una generalisació del concepte de camp tensorial. Una densitat tensorial es transforma com un camp tensorial en passar d'un sistema de coordenades a un atre (vore camp tensorial), llevat en que ademés es multiplica o pondera per una potencia W del determinant jacobiano de la funció de transformació de les coordenades o de la seua valor absolut. Una densitat tensorial en un únic índex es denomina densitat vectorial. Es fa una distinció entre densitat tensoriales (autèntiques), seudodensidades tensoriales, densitat tensoriales parells i densitat tensoriales impars. A voltes, les densitat tensoriales en un pes W negatiu es denominen capacitats tensoriales. Una densitat tensorial també es pot considerar com una secció d'un producte tensorial d'un fes de tensors en un fes de densitat.

Motivació

En física i camps relacionats, sol ser útil treballar en els components d'un objecte algebraic en lloc d'en el propi objecte. Un eixemple seria descompondre un vector en una suma de vectores d'una base ponderats per alguns coeficients com:

\vec{v} = c_{1} {\vec{e}}_{1} + c_{2} {\vec{e}}_{2} + c_{3} {\vec{e}}_{3}

a on $\vec{v}$ és un vector en l'espai euclídeo tridimensional, $c_{i} \in ℝ^{1}$ i ${\vec{e}}_{i}$ són els vectores de la base estàndar habitual en l'espai euclídeo, lo que sol ser necessari per a fins computacionals i, a sovint, pot resultar revelador quan els objectes algebraics representen abstracció complexes pero els seus components tenen interpretacions concretes. No obstant, en esta identificació, cal anar en conte de seguir els canvis de la base subjacent en la que es representa una magnitut. En el curs d'un càlcul pot resultar convenient canviar de base mentres el vector $\vec{v}$ permaneix fix en l'espai físic. De manera més general, si un objecte algebraic representa un objecte geomètric, pero s'expressa en térmens d'una base particular, llavors és necessari, quan es canvia la base, canviar també la representació. Els físics a sovint criden a esta representació d'un objecte geomètric tensor si es transforma baix una seqüència d'aplicacions llineals donat un canvi llineal de base (encara que, de manera confusa, uns atres criden a l'objecte geomètric subjacent que no ha canviat baix la transformació de coordenades un tensor, una convenció que este artícul evita estrictament). En general hi ha representacions que es transformen de forma arbitrària depenent de cóm es reconstruïxca el invariante geomètric a partir de la representació. En certs casos especials és convenient utilisar representacions que es transformen casi com a tensors, pero en un factor adicional no llineal en la transformació. Un eixemple prototípico és una matriu que representa el producte vectorial (àrea del paralelogramo estés) en $ℝ^{2} .$ La representació ve donada en la base estàndar per:

\vec{u} \times \vec{v} = [\begin{matrix} u_{1} & u_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}] = u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}

Si ara s'intenta donar esta mateixa expressió en una base distinta a la base estàndar, llavors les components dels vectores canviaran, pose's per cas segons ${[\begin{matrix} u'_{1} & u'_{2} \end{matrix}]}^{𝖳} = A {[\begin{matrix} u_{1} & u_{2} \end{matrix}]}^{𝖳}$ , a on $A$ és una matriu de número real de 2 per 2. Ya que l'àrea del paralelogramo estés és una invariante geomètrica, no pot haver canviat en el canvi de base, per lo que la nova representació d'esta matriu deu ser:

{(A^{- 1})}^{𝖳} [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] A^{- 1}

que, quan s'expandix, és solament l'expressió original pero multiplicada pel determinant de $A^{- 1},$ que també és $\frac{1}{\det A} .$ De fet, esta representació podria considerar-se com una transformació tensorial de dos índexs, pero en canvi, computacionalment és més fàcil pensar en la regla de transformació tensorial com una multiplicació per $\frac{1}{\det A},$ en lloc de multiplicacions de dos matrius (de fet, en dimensions superiors, l'extensió natural d'este cas són les multiplicacions de matrius d'orde $n, n \times n$ , que para $n$ grans són completament inviables). Els objectes que es transformen d'esta manera es denominen densitat tensoriales perque sorgixen naturalment en considerar problemes relacionats en àrees i volums, i per això s'utilisen en freqüència en l'integració.

Definició

Alguns autors classifiquen les densitat tensoriales en dos tipos anomenades densitat tensoriales (autèntiques) i seudodensidades tensoriales en este artícul. Atres autors els classifiquen de manera diferent, en els tipos anomenades densitat tensoriales parells i densitat tensoriales impars. Quan el pes de la densitat tensorial és un número entero, existix una equivalència entre estos enfocaments que depén de si l'número entero és parell o impar.

Deu tindre's en conte que estes classificacions aclarixen les diferents formes en que les densitat tensoriales poden transformar-se de manera inconsistente baixe transformacions de coordenades que impliquen la inversió de l'orientació. Independentment de les seues classificacions en estos tipos, solament hi ha una forma en la que les densitat tensoriales es transformen baix transformacions de coordenades que "preserven" l'orientació.

En el present artícul s'ha elegit la convenció que assigna un pes de +2 a $g = \det (g_{ρ σ})$ , el determinant del tensor mètric expressat en índexs covariants. En esta elecció, les densitat clàssiques, com la densitat de càrrega, estaran representades per densitat tensoriales de pes +1. Alguns autors utilisen una convenció de signes per als pesos que és l'oposta de la que es presenta ací.^[1]

En contrast en el significat utilisat en este artícul, en la relativitat general "seudotensor" a voltes significa un objecte que no es transforma com un tensor o un tensor relatiu de qualsevol pes.

Tensors i seudodensidades tensoriales

Per eixemple, una densitat tensorial mixta de ranc dos (autèntica) de pes $W$ es transforma com:^[2]^[3]

𝔗_{β}^{α} = {(\det [\frac{\partial {\bar{x}}^{ι}}{\partial x^{γ}}])}^{W} \frac{\partial x^{α}}{\partial {\bar{x}}^{δ}} \frac{\partial {\bar{x}}^{ϵ}}{\partial x^{β}} {\bar{𝔗}}_{ϵ}^{δ},

(densitat tensorial (autèntica) de pes (sancer) W)

a on $\bar{𝔗}$ és la densitat tensorial de ranc dos en el sistema de coordenades $\bar{x}$ , $𝔗$ és la densitat tensorial transformada en el sistema de coordenades $x$ ; i s'usa el determinant jacobiano. Degut a que el determinant pot ser negatiu, com lo és per a una transformació de coordenades en inversió d'orientació, esta fòrmula solament és aplicable quan $W$ és un número entero (consulte's l'epígraf sobre les densitat tensoriales parells i impar que figura a continuació).

Es diu que una densitat tensorial és una seudodensidad tensorial quan hi ha un canvi de signe adicional baixe una transformació de coordenades en inversió d'orientació. Una seudodensidad tensorial mixta de ranc dos i de pes $W$ es transforma com:

𝔗_{β}^{α} = sgn (\det [\frac{\partial {\bar{x}}^{ι}}{\partial x^{γ}}]) {(\det [\frac{\partial {\bar{x}}^{ι}}{\partial x^{γ}}])}^{W} \frac{\partial x^{α}}{\partial {\bar{x}}^{δ}} \frac{\partial {\bar{x}}^{ϵ}}{\partial x^{β}} {\bar{𝔗}}_{ϵ}^{δ},

(seudodensidad tensorial de pes (sancer) W)

a on sgn( $\cdot$ ) és una funció que torna +1 quan el seu argument és positiu o −1 quan el seu argument és negatiu.

densitat tensoriales parells i impar

Les transformacions per a densitat tensoriales parells i impar tenen la ventaja d'estar ben definides inclús quan $W$ no és un número entero. Aixina, es pot parlar de, pose's per cas, una densitat tensorial impar de pes +2 o una densitat tensorial parell de pes −1/2.

Quan $W$ és un número entero parell, la fòrmula anterior per a una densitat tensorial (autèntica) es pot reescriure com

𝔗_{β}^{α} = {| \det [\frac{\partial {\bar{x}}^{ι}}{\partial x^{γ}}] |}^{W} \frac{\partial x^{α}}{\partial {\bar{x}}^{δ}} \frac{\partial {\bar{x}}^{ϵ}}{\partial x^{β}} {\bar{𝔗}}_{ϵ}^{δ} .

(densitat tensorial parell de pes W)

De manera similar, quan $W$ és un número entero impar, la fòrmula per a una densitat tensorial (autèntica) es pot reescriure com

𝔗_{β}^{α} = sgn (\det [\frac{\partial {\bar{x}}^{ι}}{\partial x^{γ}}]) {| \det [\frac{\partial {\bar{x}}^{ι}}{\partial x^{γ}}] |}^{W} \frac{\partial x^{α}}{\partial {\bar{x}}^{δ}} \frac{\partial {\bar{x}}^{ϵ}}{\partial x^{β}} {\bar{𝔗}}_{ϵ}^{δ} .

(densitat tensorial impar de pes W)

Pesos zero i un

Una densitat tensorial de qualsevol tipo que tinga pes zero també es denomina tensor absolut. Una densitat tensorial autèntica (parell) de pes zero també es denomina tensor ordinari.

Si no s'especifica un pes pero s'usa la paraula relatiu o de densitat en un context a on es necessita un pes específic, generalment se supon que el pes és +1.

Propietats algebraiques

Una combinació llineal (també coneguda com suma ponderada) de densitat tensoriales del mateix tipo i pes $W$ és novament una densitat tensorial d'eixe tipo i pes.
Un producte de dos densitat tensoriales de qualsevol tipo, i en pesos $W_{1}$ i $W_{2}$ , és una densitat tensorial de pes $W_{1} + W_{2} .$
Un producte de densitat tensoriales autèntiques i de seudodensidades tensoriales serà una densitat tensorial autèntica quan un número par de factors siguen seudodensidades tensoriales; serà una seudodensidad tensorial quan un número impar de factors siguen seudodensidades tensoriales. De manera similar, un producte de densitat tensoriales parells i densitat tensoriales impar serà una densitat tensorial parell quan un número par de factors sona densitat tensoriales impars; i serà una densitat tensorial impar quan un número impar de factors seana densitat tensoriales impars.
La contracció d'índexs en una densitat tensorial en pes $W$ produïx novament una densitat tensorial de pes $W .$ ^[4]
Usant (2) i (3) es veu que pujar i baixar índexs usant el tensor mètric (pes 0) deixa el pes sense canvis.^[4]

Inversió de matrius i determinant matricial de densitat tensoriales

Si $𝔗_{α β}$ és una matriu no singular i una densitat tensorial de ranc dos i pes $W$ en índexs covariants, llavors la seua matriu inversa serà una densitat tensorial en índexs contravariantes de ranc dos i de pes $W$ $- 2$ . S'apliquen declaracions similars quan els dos índexs són contravariantes o són covariants i contravariantes mixts.

Si $𝔗_{α β}$ és una densitat tensorial de ranc dos i de pes $W$ en índexs covariants, llavors el determinant matricial $\det 𝔗_{α β}$ tindrà un pes $N W + 2,$ a on $N$ és el número de dimensions espai-temporals. Si $𝔗^{α β}$ és una densitat tensorial de ranc dos de pes $W$ en índexs contravariantes, llavors el determinant matricial $\det 𝔗^{α β}$ tindrà pes $N W - 2.$ El determinant matricial $\det 𝔗_{β}^{α}$ tindrà pes $N W .$

Vore també

Referències

↑ I.g. Weinberg 1972 pp 98. La convenció elegida implica en les fòrmules següents el determinant jacobiano de la transformació inversa $x \to Plantilla:Sobrerrayado$ , mentres que la convenció oposta considera la transformació cap a avant $Plantilla:Sobrerrayado \to x$ resultant en un canvi de signe del pes.
↑ (2009) Vector Analysis, 2nd edició, New York: Schaum's Outline Séries, p. 198. ISBN 978-0-07-161545-7.
↑ C.B. Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics, 2nd edició, McGraw-Hill, p. 1417. ISBN 0-07-051400-3.
↑ ^4,0 ^4,1 Weinberg 1972 p 100.

Bibliografia

(1999).«A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol I»..
Plantilla:Springer.
Charles W. Misner; Kip Thorne & John Archibald Wheeler (1973). Gravitation, W. H. Freeman, p. 501ff. ISBN 0-7167-0344-0.
(1972).«Gravitation and Cosmology».John Wiley & sons, Inc.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Densidad tensorial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] I.g. Weinberg 1972 pp 98. La convenció elegida implica en les fòrmules següents el determinant jacobiano de la transformació inversa $x \to Plantilla:Sobrerrayado$ , mentres que la convenció oposta considera la transformació cap a avant $Plantilla:Sobrerrayado \to x$ resultant en un canvi de signe del pes.

[2] (2009) Vector Analysis, 2nd edició, New York: Schaum's Outline Séries, p. 198. ISBN 978-0-07-161545-7.

[3] C.B. Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics, 2nd edició, McGraw-Hill, p. 1417. ISBN 0-07-051400-3.

[dup-0-62-4] 4,0 ^4,1 Weinberg 1972 p 100.

[1]

[2]

[3]

[4]