Seudotensor

En física i matemàtiques, un seudotensor (també escrit pseudotensor) sol ser una cantitat que es transforma com un tensor baixe un sistema de coordenades que conserva l'orientació (per eixemple, una rotació pròpia) pero que ademés canvia de signe baix una transformació de coordenades que invertix l'orientació (per eixemple, una rotació impròpia), que és una transformació que es pot expressar com una rotació pròpia seguida d'una reflexió. És una generalisació del concepte de vector axial. Per a evaluar un signe tensorial o seudotensorial té que ser contret en uns vectores, tants com el seu ranc, pertanyents a l'espai a on es realisa la rotació mantenint inalteradas les coordenades del tensor (a diferència de lo que es fa en el cas d'un canvi de base). En condicions de rotació impròpia, un seudotensor i un tensor propi del mateix ranc tindran un signe diferent, lo que depén de que el ranc siga parell o impar. A voltes, l'inversió dels eixos s'utilisa com a eixemple de rotació impròpia per a vore el comportament d'un seudotensor, pero solament funciona si les dimensions de l'espai vectorial són impars. En cas contrari, l'inversió és una rotació pròpia sense una reflexió adicional.

Hi ha un segon significat per a seudotensor (i també per a seudovector), restringit a la relativitat general. Els tensors obedixen estrictes lleis de transformació, pero els seudotensores en este sentit no estan tan restringits. En conseqüència, la forma d'un seudotensor canviarà, en general, a mida que s'altere el sistema de referència. Una equació que conté seudotensores que es complix en un sistema de referència no necessàriament es complirà en un sistema diferent. Açò fa que els seudotensores tinguen una rellevància llimitada, ya que les equacions en les que apareixen no tenen forma invariante.

Definició

Dos objectes matemàtics prou diferents es denominen seudotensor en contexts diferents.

El primer context és essencialment un tensor multiplicat per un factor de signe adicional, de modo que el seudotensor canvia de signe baix reflexions quan un tensor normal no ho fa. Segons una definició, un seudotensor P del tipo $(p, q)$ és un objecte geomètric els components del qual de forma arbitrària s'enumeren per mig d'índexs $(p + q)$ i obedixen a la regla de transformació:

{\hat{P}}_{j_{1} \dots j_{p}}^{i_{1} \dots i_{q}} = (- 1)^{A} A^{i_{1}}_{k_{1}} \dots A^{i_{q}}_{k_{q}} B^{l_{1}}_{j_{1}} \dots B^{l_{p}}_{j_{p}} P_{l_{1} \dots l_{p}}^{k_{1} \dots k_{q}}

baixe un canvi de base.^[1]^[2]^[3]

Ací ${\hat{P}}_{j_{1} \dots j_{p}}^{i_{1} \dots i_{q}}, P_{l_{1} \dots l_{p}}^{k_{1} \dots k_{q}}$ són les components del seudotensor en les bases nova i antiga, respectivament, $A^{i_{q}}_{k_{q}}$ és la matriu de transformació per als índexs contravariantes, $B^{l_{p}}_{j_{p}}$ és la matriu de transformació per als índexs covariants i $(- 1)^{A} = s i g n (\det (A^{i_{q}}_{k_{q}})) = \pm 1 .$ Esta regla de transformació diferix de la regla d'un tensor ordinari sol per la presència del factor $(- 1)^{A} .$

El segon context a on s'utilisa la paraula "seudotensor" és en la relativitat general. En eixa teoria, no es poden descriure l'energia i el moment del camp gravitatorio per mig d'un tensor d'energia-moment. En canvi, s'introduïxen objectes que es comporten com a tensors sol sobre transformacions de coordenades restringides. Estrictament parlant, estos objectes no són tensors en absolut. Un eixemple famós d'este tipo de seudotensor és el seudotensor de Landau-Lifshitz.

Eixemples

En varietats no orientables, no es pot definir una forma de volum globalment per la no orientabilidad, pero es pot definir un element de volum, que formalment és una densitat, i també pot denominar-se "forma de seudovolumen", pel gir de signe adicional (tensor en el fes de signes). L'element de volum és un seudotensor de densitat segons la primera definició.

Un canvie de variable en l'integració multidimensional es pot conseguir per mig de l'incorporació d'un factor del valor absolut del determinant de la matriu jacobiana. L'us del valor absolut introduïx un canvi de signe per a transformacions de coordenades impròpies per a compensar la convenció de mantindre positiu l'element d'integració (volum); com a tal, una integració és un eixemple de seudotensor de densitat segons la primera definició.

Els símbols de Christoffel d'una conexió afí en una varietat es poden considerar com els térmens de correcció de les derivades parcials d'una expressió de coordenades d'un camp vectorial sobre les coordenades per a convertir-ho en la derivada covariant del camp vectorial. Si be la conexió afí en sí mateixa no depén de l'elecció de les coordenades, els seus símbols de Christoffel sí ho fan, lo que els convertix en una cantitat seudotensorial segons la segona definició.

Vore també

Referències

↑ Sharipov, R.A. (1996). Course of Differential Geometry, Ufa:Bashkir State University, Russia, p. 34, eq. 6.15. ISBN 5-7477-0129-0, Plantilla:Arxiv
↑ Lawden, Derek F. (1982). An Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology. Chichester:John Wiley & Sons Ltd., p. 29, eq. 13.1. ISBN 0-471-10082-X
↑ Borisenko, A. I. and Tarapov, I. E. (1968). Vector and Tensor Analysis with Applications, New York:Dover Publications, Inc., p. 124, eq. 3.34. ISBN 0-486-63833-2

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Seudotensor» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Sharipov, R.A. (1996). Course of Differential Geometry, Ufa:Bashkir State University, Russia, p. 34, eq. 6.15. ISBN 5-7477-0129-0, Plantilla:Arxiv

[2] Lawden, Derek F. (1982). An Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology. Chichester:John Wiley & Sons Ltd., p. 29, eq. 13.1. ISBN 0-471-10082-X

[3] Borisenko, A. I. and Tarapov, I. E. (1968). Vector and Tensor Analysis with Applications, New York:Dover Publications, Inc., p. 124, eq. 3.34. ISBN 0-486-63833-2

[1]

[2]

[3]