Tensor (definició intrínseca)

En matemàtiques, l'enfocament teòric modern sense components considera un tensor com un ent abstracte i concret que expressa algun tipo definit d'aplicació multilineal. Les seues propietats poden derivar-se de la definició general d'aplicació llineal; i les regles per a la manipulació de tensors sorgixen com una extensió del àlgebra llineal al àlgebra multilineal.

Introducció

En geometria diferencial, una declaració geomètrica intrínseca pot ser descrita per un camp tensorial en un varietat, i llavors no és necessari fer referència a coordenades en absolut. Lo mateixa ocorre en relativitat general, en els camps tensoriales que descriuen un propietat física. L'enfocament sense components també s'utilisa àmpliament en àlgebra abstracta i àlgebra homológica, a on els tensors sorgixen de forma natural.

Nota: Este artícul supon una comprensió del producte tensorial d'espais vectorials sense bases elegides. Pot trobar-se una descripció general del tema en l'artícul principal dedicat als tensorés.

Definició per mig de productes tensoriales d'espais vectorials

Donat un conjunt finito {V₁, ..., V_n } d'espais vectorials sobre un cos F comuna, es pot formar la seua producte tensorial V₁ ⊗ ... ⊗ V_n, i es denomina tensor a qualsevol element d'este producte tensorial.

Un tensor en l'espai vectorial V es definix llavors com un element de (és dir, un vector en) un espai vectorial de la forma:

$V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}$

a on V^∗ és l'espai dual de V.

Si hi ha m copies de V i n copies de V^∗ en el producte considerat, es diu que el tensor és de tipo (m, n) i contravariante d'orde m i covariant d'orde n i d'orde total m + n. Els tensors d'orde zero són solament els escalares (elements del cos F), els de orde contravariante 1 són els vectores en V, i els de orde covariant 1 són les formes llineals en V^∗ (per esta raó, els elements dels dos últims espais solen denominar-se vectores contravariantes i covariants). L'espai de tots els tensors del tipo (m, n) es denota per

$T_n^m(V)=\underset{m}{\underbrace{V\otimes \dots \otimes V}}\otimes \underset{n}{\underbrace{V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}}}.$

Eixemple 1. L'espai de tensors del tipo (1, 1), $T_1^1(V)=V\otimes V^{*},$ és isomorfo de manera natural en l'espai de l'aplicació llineal de V sobre V.

Eixemple 2. Una forma bilineal en un espai vectorial real V, $V\times V\to F,$ correspon de forma natural a un tensor del tipo (0, 2) en $T_2^0(V)=V^{*}\otimes V^{*}.$. Es pot definir un eixemple de dita forma bilineal com el tensor mètric associat, que normalment es denota com a g.

Bibliografia

• (1985).«Foundations of Mechanics».Addison-Wesley.Reading, Mass.:.
• (1989).«Elements of Mathematics, Algebra I».Springer-Verlag..

• (1987).«Lectures on the Complexity of Bilinear Problems».Springer.245.
• (1974).«Finite-dimensional Vector Spaces».Springer..
• (2011).«An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists».Physics Today.65(4)doi:10.1063/PT.3.1523.
• (1998).«The Art of Computer Programming vol. 2».

145–146..

• (2012).«Tensor Spaces and Numerical Tensor Calculus».Springer.

4..