Producte tensorial

En matemàtiques, el producte tensorial, denotat per $\otimes$ , es pot aplicar en diversos contexts a vectores, matrius, tensorés i espais vectorials. En cada cas, el significat del símbol és el mateix: l'operació bilineal més general.

Un cas representatiu de producte tensorial és el producte de Kronecker de dos vectores qualssevol, per eixemple:

\vec{a} \otimes \vec{b} = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & a_{1} b_{3} & a_{1} b_{4} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & a_{2} b_{3} & a_{2} b_{4} \\ a_{3} b_{1} & a_{3} b_{2} & a_{3} b_{3} & a_{3} b_{4} \end{matrix}], \vec{a} \in ℝ^{3}, \vec{b} \in ℝ^{4}

el resultat del qual és una matriu de tamany 3x4 i de ranc 1 si abdós vectores són no nuls, i de ranc 0 en cas contrari.

En este eixemple el ranc denota el número d'índexs indispensables, mentres que la dimensió conta el número de graus de llibertat en la matriu que resulta.

Producte tensorial d'espais vectorials

El producte tensorial $V \otimes_{K} W$ de dos espais vectorials V i W sobre un cos K tenen una definició formal pel método de generadors i relacions (es denota generalment com V ⊗ W quan el cos subjacent K es sobreentiende). Per a construir-ho, es comença en el conjunt de parells ordenats del producte cartesiano V &claves; W. Per a propòsits d'esta construcció, considere's este producte com un conjunt en lloc d'un espai vectorial. l'espai vectorial lliure F sobre V &claves; W es definix prenent l'espai vectorial en el qual els elements de V &claves; W són una base. Escrit en notació teorética de conjunts,

F (V \times W) = {\sum_{i = 1}^{n} α_{i} e_{(v_{i}, w_{i})} | n \in ℕ, α_{i} \in K, (v_{i}, w_{i}) \in V \times W},

a on s'usa el símbol i_(v,w) per a destacar que són presos com linealmente independents per definició per a distints (v, w) ∈ V &claves; W.

El producte tensorial sorgix per la definició de les següents relaciones d'equivalència en F(V &claves; W):

\begin{matrix} e_{(v_{1} + v_{2}, w)} & \sim e_{(v_{1}, w)} + e_{(v_{2}, w)} \\ e_{(v, w_{1} + w_{2})} & \sim e_{(v, w_{1})} + e_{(v, w_{2})} \\ c e_{(v, w)} & \sim e_{(c v, w)} \sim e_{(v, c w)} \end{matrix}

a on v, v₁ i v₂ són vectores de V, mentres que w, w₁, i w₂ són vectores de W, i c sorgix del cos K. Denotant per R l'espai generat per eixes quatre relacions d'equivalència, el producte tensorial de dos espais vectorials V i W és llavors l'espai cocient

V \otimes W = F (V \times W) / R .

És cridat també espai producte tensor de V i W i és un espai vectorial (que pot ser verificat directament mirant els axioma d'espai vectorial). El producte tensorial de dos elements v and w és la classe d'equivalència (i_(v,w) + R) de i_(v,w) en V ⊗ W. La classe d'equivalència de (v, w) es diu tensor i és denotada per $v \otimes w$ . Per construcció, es pot demostrar solament tantes identitats entre els tensors, i les sumes de tensors, com se seguixen de les relacions usades.

Prenga's l'espai vectorial generat per W x V i aplique (factorice els subespacios generats per) les relacions multilineales detallades dalt. En esta notació, les quatre relacions d'equivalència prenen la forma d'igualtats en l'espai producte tensor:

$(v_{1} + v_{2}) \otimes w = v_{1} \otimes w$ $+ v_{2} \otimes w$
$v \otimes (w_{1} + w_{2}) = v \otimes w_{1} + v \otimes w_{2}$
$c v \otimes w = v \otimes c w = c (v \otimes w)$

Cada element del producte tensorial és una suma finita de tensors: més d'un tensor es requerix generalment per a fer això. Es mostra simplement cóm construir una base dels $V \otimes W$ . Donades bases per a V i W, el conjunt de productes tensoriales dels vectores de base, un de V i un de W, formen una base per a $V \otimes W$ .

La dimensió de l'espai per lo tant està donada pel producte mn de les dimensions de V i de W.

Caracterisació per una propietat universal

En àlgebra abstracta, l'àlgebra llineal és elevada a àlgebra multilineal introduint el producte tensorial de dos espais vectorials. Es fa per a reduir l'estudi dels operadors bilineales al dels operadors llineals. Açò és suficient per a fer lo mateix en totes les funcions multilineales.

Formalment, el producte tensorial dels dos espais vectorials V i W sobre el mateix cos base F és definit per la següent propietat universal:

És un espai vectorial T sobre F, junt en un operador bilineal: $\otimes : V \times W \to T,$ tals que per a cada operador bilineal $B : V \times W \to X$ existix un operador llineal L únic: L: T → X en $B = L \circ \otimes$ , i.i. $B (x, y) = L (x \otimes y)$ per a tot x en V i i en W.

El producte tensorial és únic llevat isomorfisme, especificat unívocamente per este requisit, i podem per lo tant escriure $V \otimes W$ en lloc de T. Per la construcció directa, segons lo sugerit en la secció anterior, es pot demostrar que existix el producte tensorial per a dos espais vectorials qualssevol. L'espai $V \otimes W$ és generat per l'image de la $\otimes$ i encara més: si S és una base de V i T és una base de W, llavors els $s \otimes t$ (tal que $s \in S$ i $t \in T$ ) són una base per a $V \otimes W$ .

És possible generalisar la definició de producte tensorial d'un número qualsevol d'espais. Per eixemple, la propietat universal de $V \otimes W \otimes X$ és que cada operador tri-llineal en $V \times W \times X$ correspon a un operador llineal únic en $V \otimes W \otimes X$ .

El producte tensorial dels tres es pot per lo tant identificar en qualsevol d'eixos: el binario $\otimes$ serà suficient. Els espais tensoriales permeten que s'utilise la teoria d'operadors llineals per a estudiar operadors multilineales, a on el cas bilineal és el principal.

El producte binario tensorial és associatiu: $(V \otimes W) \otimes Z$ és naturalment isomorfo a $V \otimes (W \otimes Z)$ .

Producte tensorial d'espais de Hilbert

Artícul principal → Producte tensorial d'espais de Hilbert.

El producte tensorial de dos espais de Hilbert és un atre espai de Hilbert, que es definix segons lo descrit avall.

Definició

Siguen H₁ i H₂ dos espais de Hilbert en els productes interns < ·, ·>₁ i < ·, ·>₂, respectivament. Construïxca's el producte tensorial de H₁ i H₂ com a espais vectorials segons lo explicat dalt. Es pot convertir a este producte tensorial d'espais vectorials en un en producte escalar definint:

⟨ ϕ_{1} \otimes ϕ_{2}, ψ_{1} \otimes ψ_{2} ⟩ = ⟨ ϕ_{1}, ψ_{1} ⟩_{1} ⟨ ϕ_{2}, ψ_{2} ⟩_{2} \forall ϕ_{1}, ψ_{1} \in H_{1} y ϕ_{2}, ψ_{2} \in H_{2}

i estenent per linealidad. Finalment, prengam completación d'este producte intern. El resultat és el producte tensorial de H₁ i H₂ com a espais de Hilbert.

Propietats

Si H₁ i H₂ tenen bases ortonormals {φ_k} i {ψ_l}, respectivament, llavors {φ_k⊗ψ_l} són una base ortonormal per a H₁⊗H₂.

Eixemples i aplicacions

Els eixemples següents mostren que els productes tensoriales es presenten naturalment.

Daus dos espais de mida X i I, en μ i ν les mides respectivament, un pot considerar L²(X × I), l'espai de les funcions en X × I que són quadrat-integrables sobre la medida producte μ × ν. Si f és una funció quadrat-integrable en X, i g és una funció quadrat-integrable en I, llavors podem definir una funció h en X × I per h(x, i) = f(x) g(i). la definició de la medida producte nos assegura que totes les funcions d'esta forma són quadrat-integrables, aixina que esta definix una funció bilineal de L²(X) × L²(I) → L²(X × I). Les combinacions llineals de les funcions de la forma f(x) g(i) estan també en L²(X × I). Resulta que el conjunt de combinacions llineals és de fet dens en L²(X × I), si L²(X) i L²(I) són separables. Açò demostra que L²(X) ⊗ L²(I) és isomorfo a L²(X × I), i també explica perqué necessitem prendre la completación en la construcció del producte tensorial de l'espai de Hilbert.

Semejantement, podem demostrar que L²(X; H), denotant l'espai de les funcions quadrat-integrables de X → H, és isomorfo al L²(X) ⊗ H si este espai és separable. L'isomorfisme mana f(x) ⊗ψ ∈ L²(X)⊗ H a f(x)ψ ∈ L²(X; H). Podem combinar açò en l'eixemple anterior i concloure que L²(X) ⊗ L²(I) i L²(X × I) són abdós isomorfos a L²(X; L²(I)).

Els productes tensoriales dels espais de Hilbert es presenten a sovint en la mecànica quàntica. Si una certa partícula és descrita per l'espai de Hilbert H₁, i es descriu una atra partícula per H₂, llavors el conjunt que consistix en abdós partícules és descrit pel producte tensorial de H₁ i H₂. Per eixemple, l'espai d'estat d'un oscilador harmònic quàntic és L²(R), aixina que l'espai d'estat de dos osciladors és L²(R) ⊗ L²(R ), el qual és isomorfo a L²(R²). Per lo tant, el conjunt de les dos partícules és descrit per les funcions de l'ona de la forma φ(x₁, x₂). Un eixemple més intrincado és proporcionat pels espais de Fock, que descriuen un número variable de partícules.

Vore també

Referències

(1989).«Elements of mathematics, Algebra I».Springer-Verlag..
(1974).«Finite dimensional vector spaces».Springer..
(2002).«Algebra».Springer-Verlag.New York:211
(1999).«Algebra».AMS Chelsea..
(2004).«Algebras, rings and modules».Springer..

Este artícul conté una traducció derivada de «Producto tensorial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.