Propietat universal

Archiu:Universal morphism definition.svg

El diagrama típic de la definició d'un morfismo universal.

En matemàtiques, més específicament en la teoria de categories, una propietat universal és una propietat que caracterisa llevat isomorfisme el resultat d'algunes construccions. Per lo tant, les propietats universals es poden utilisar per a definir o caracterisar alguns objectes, independentment del método elegit per a construir-los. Per eixemple, les definicions dels número entero a partir dels número natural, dels número racional a partir dels número entero, dels número real a partir dels número racional i dels anells polinòmics del camp dels seus coeficients es poden fer en térmens de propietats universals. En particular, el concepte de propietat universal permet una demostració simple de que totes les construccions d'número real són equivalents: n'hi ha prou en provar que satisfan la mateixa propietat universal.

Tècnicament, una propietat universal es definix en térmens de categories i funtorés per mig d'un morfismo universal (vore la definició formal, avall). Els morfismos universals també poden ser concebuts de manera més abstracta com objectes inicials o terminals d'una categoria de menge.

Les propietats universals ocorren en casi totes parts en matemàtiques, i l'us del concepte permet l'us de propietats generals de les propietats universals per a provar fàcilment algunes propietats que d'un atre modo necessitarien verificacions avorrides. Per eixemple, donat un anell conmutativo $R$, el cos de fraccions del anelle cocient de $R$ per un ideal primer $p$ pot identificar-se en el cos de residus de la localisació de $R$ en $p$; és dir, $R_p/p{R}_p\cong \mathrm{Frac}(R/p)$ (totes estes construccions es poden definir per mig de propietats universals).

Atres objectes que poden definir-se per propietats universals inclouen: tots els objectes lliures, productes directes i sumes directes, grups lliures, retículs lliures, grup de Grothendieck, compleción d'un espai mètric, compleción d'un anell, topología producte, compactificación de Stone-Čech, producte tensorial, llímit invers i llímit directe, kernels i cokernels, grups cocient, espai vectorial cocients, i uns atres espai de cocients.

Motivació

Abans de donar una definició formal de les propietats universals, oferim algunes motivacions per a estudiar tals construccions.

• Els detalls concrets d'una construcció donada poden ser desordenats, pero si la construcció satisfà una propietat universal, un pot oblidar tots eixos detalls: tot lo que cal saber sobre la construcció ya està contingut en la propietat universal. Les proves a sovint es tornen curtes i elegants si s'usa la propietat universal en lloc dels detalls concrets. Per eixemple, l'àlgebra tensorial d'un espai vectorial és una miqueta complicada de construir, pero molt més fàcil de manejar per la seua propietat universal.
• Les propietats universals definixen els objectes de manera única fins a un isomorfisme únic. Per lo tant, una estratègia per a demostrar que dos objectes són isomòrfics és mostrar que satisfan la mateixa propietat universal.
• Les construccions universals són de naturalea funcional: si un pot portar a terme la construcció per a cada objecte en una categoria C, llavors s'obté un funtor en C. Ademés, este funtor és un adjunt dret o esquerre al funtor O utilisat en la definició de la propietat universal.
• Les propietats universals ocorren en tots els llocs en les matemàtiques. En comprendre les seues propietats abstractes, s'obté informació sobre totes estes construccions i es pot evitar repetir el mateix anàlisis per a cada cas individual.

Definició formal

Per a entendre la definició d'una construcció universal, és important considerar alguns eixemples. Les construccions universals no es varen definir del no res, sino que es varen definir en acabant de que els matemàtics varen començar a notar un patró en moltes construccions matemàtiques (vore eixemples a continuació). Per lo tant, la definició pot no tindre sentit per a un al principi, pero queda aclarida quan es reconcilia en eixemples concrets.

Siga $F:𝒞\to 𝒟$ un funtor entre les categories $𝒞$ i $𝒟$. En lo que seguix, siga $X$ un objecte de $𝒟$, $A$ i $A^{\prime }$ siguen objectes de $𝒞$, i $h:A\to A^{\prime }$ ser un morfismo en $𝒞$.

A continuació, el funtor $F$ mapea $A$, $A^{\prime }$ i $h$ en $𝒞$ a $F(A)$, $F(A^{\prime })$ i $F(h)$ en $𝒟$.

Un morfismo universal de $X$ a $F$ és un parell únic $(A,u:X\to F(A))$ en $𝒟$ que té la següent propietat, comunament coneguda com una propietat universal:

Per a qualsevol morfismo de la forma $f:X\to F(A^{\prime })$ en $𝒟$, existix un morfismo únic $h:A\to A^{\prime }$ en $𝒞$ tal que el següent diagrama commuta:

El diagrama típic de la definició d'un morfismo universal.

El diagrama típic de la definició d'un morfismo universal.

Podem dualizar este concepte categòric. Un morfismo universal de $F$ a $X$ és un parell únic $(A,u:F(A)\to X)$ que satisfà la següent propietat universal:

Per a qualsevol morfismo de la forma $f:F(A^{\prime })\to X$ en $𝒟$, existix un morfismo únic $h:A^{\prime }\to A$ en $𝒞$ tal que el següent diagrama commuta:

La flecha més important ací és u:F(A)→X que establix la propietat universal.

La flecha més important ací és $u:F(A)\to X$ que establix la propietat universal.

Tinga's en conte que en cada definició, les fleches estan invertides. Abdós definicions són necessàries per a descriure les construccions universals que apareixen en matemàtiques; pero també sorgixen per la dualitat inherent present en la teoria de categories.

En qualsevol cas, diem que el parell $(A,u)$ que es comporta com dalt satisfà una propietat universal.

Referències

Bibliografia

• Paul Cohn, Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland. Plantilla:Isbn.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician, 2nd edició, Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Borceux, F. Handbook of Categorical Algebra: vol 1 Basic category theory (1994) Cambridge University Press, (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) Plantilla:Isbn
• N. Bourbaki, Livre II : Algèbre (1970), Hermann, Plantilla:Isbn.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. Plantilla:Isbn
• Jacobson. Basic Algebra II. Dover. 2009. Plantilla:Isbn