Retícul (matemàtiques)

En matemàtiques, específicament en àlgebra i teoria de l'orde, un retícul és una estructura algebraica en un conjunt: $A$ en una relació binaria: $ℛ$ que és conjunt parcialment ordenat i dos operacions binarias, en la propietat fonamental de que tota parella $a, b \in A$ d'elements té un únic suprem (o extrem superior) en $A, \sup (a, b) \in A$ i un únic ínfim (o extrem inferior) en $A, \inf (a, b) \in A$ .^[1]^[2]^[3]

El terme «retícul» ve de la forma dels diagrames de Hasse de tals órdens.^[4]^[5]^[6]

Un eixemple de retícul és el conjunt de particions d'un conjunt finito, ordenat per la relació d'inclusió.

Definició com a conjunt ordenat

En teoria de conjunts, un retícul és un conjunt parcialment ordenat en el qual, per a cada parell d'elements, existixen un suprem i un ínfim, açò és:

Un conjunt parcialment ordenat (L, ≤) es denomina retícul si satisfà les següents propietats:

Existència del suprem per parells: Per a qualssevol dos elements a i b de L, el conjunt {a, b} té un suprem: $a \lor b$ (també conegut com a mínima cota superior, o join en idioma anglés).
Existència de l'ínfim per parells: Per a qualssevol dos elements a i b de L, el conjunt {a, b} té un ínfim: $a \land b$ (també conegut com a màxima cota inferior, o meet en idioma anglés).

El suprem i l'ínfim de a i b es denoten per $a \lor b$ i $a \land b$ , respectivament, lo que definix a $\lor$ i $\land$ com operacions binarias. El primer axioma diu que L és un semirretículo superior; el segon que L és un semirretículo inferior. Abdós operacions són monòtones sobre l'orde: a₁ ≤ a₂ i b₁ ≤ b₂ implica que a₁ $\lor$ b₁ ≤ a₂ $\lor$ b₂ i a₁ $\land$ b₁ ≤ a₂ $\land$ b₂.

Se seguix per inducció matemàtica que para tot subconjunt finito no buit d'un retícul existixen un suprem i un ínfim.

Note's que encara en un conjunt parcialment ordenat (L, ≤) arbitrari, l'existència d'algun suprem (o ínfim) z per a un subconjunt finito no buide S de L implica que este suprem (o ínfim) z és únic, ya que d'existir dos o més cotes superiors (o inferiors) de S que siguen incomparables entre sí, el suprem (o ínfim) per definició no existix.

Definició algebraica

En àlgebra, en sentit invers, un retícul és un conjunt L, proveït de dos operacions binarias $\land$ i $\lor$ , tals que para qualssevol a, b, c en L es complixen

$a \lor b = b \lor a$	$a \land b = b \land a$	les lleis de conmutatividad
$a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c$	$a \land (b \land c) = (a \land b) \land c$	les lleis d'asociatividad
$a \lor (a \land b) = a$	$a \land (a \lor b) = a$	les lleis d'absorció
condicions de les que es deriven
$a \lor a = a$	$a \land a = a$	les lleis d'idempotencia

Si les dos operacions satisfan estes regles algebraiques, llavors a la seua volta definixen un orde parcial ≤ en L per la regla següent: a ≤ b si i solament si a $\lor$ b = b, o, equivalentement, a $\land$ b = a.

L, junt en l'orde parcial ≤ aixina definit, seria llavors un retícul en el sentit antedicho de la teoria de l'orde.

Inversament, si es dona un retícul (L, ≤) en térmens de la teoria de l'orde, i escrivim a $\lor$ b per al suprem de {a, b} i a $\land$ b per a l'ínfim de {a, b}, llavors (L, $\land; \lor$ ) satisfà tots els axioma d'un retícul definit algebraicament.

Per tant L és un semirretículo sobre cada operació per separat, és dir, un semigrupo conmutativo, en idempotencia de cada u dels seus elements. Les operacions interactuen a través de les lleis d'absorció.

En permutar les operacions s'obté el retícul dual de L.

Referències

↑ Ralph P. Grimaldi (1998). «7.20», Matemàtiques discreta i combinatòria, 3 edició (en espanyol), Pearson Educació, p. 379. ISBN 978-968-444-324-2.
↑ Hortalá González (2001). «3.3», Matemàtica discreta i llògica matemàtica, 2 edició (en espanyol), Editorial Complutense, p. 185. ISBN 978-847-491-650-8.
↑ García Rua (1977). «3», Matemàtica bàsica elemental, 1 edició (en espanyol), Ministeri d'Educació, p. 67. ISBN 978-843-690-216-7.
↑ Bernard Kolman (1997). «7», Estructures de matemàtiques discretes per a la computació, 3 edició (en espanyol), Pearson Educació, p. 231. ISBN 978-968-880-799-6.
↑ Ralph P. Grimaldi (1998). «7», Matemàtiques discreta i combinatòria, 3 edició (en espanyol), Pearson Educació, p. 373. ISBN 978-968-444-324-2.
↑ Villalpando Becerra (2014). «3.8», Matemàtiques Discretes (en espanyol), Grup Editorial Pàtria, p. 76. ISBN 978-607-438-925-8.

Bibliografia

George Grätzer, 1978. General Lattice Theory. Birkhäuser. ISBN 9783764369965.
Robert P. Dilworth i Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice-Hall. ISBN 9780130222695.
Garrett Birkhoff, 1967. Lattice Theory, 3rd ed. Vol. 25 of AMS Colloquium Publications. American Mathematical Society. ISBN 9780821810255
Hans Hermes, 1963. La Teoria de Retículs i La seua Aplicació a la Llògica Matemàtica. Consell Superior d'Investigacions Científiques. ISBN 9788400031039

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Retículo (matemáticas)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Ralph P. Grimaldi (1998). «7.20», Matemàtiques discreta i combinatòria, 3 edició (en espanyol), Pearson Educació, p. 379. ISBN 978-968-444-324-2.

[2] Hortalá González (2001). «3.3», Matemàtica discreta i llògica matemàtica, 2 edició (en espanyol), Editorial Complutense, p. 185. ISBN 978-847-491-650-8.

[3] García Rua (1977). «3», Matemàtica bàsica elemental, 1 edició (en espanyol), Ministeri d'Educació, p. 67. ISBN 978-843-690-216-7.

[4] Bernard Kolman (1997). «7», Estructures de matemàtiques discretes per a la computació, 3 edició (en espanyol), Pearson Educació, p. 231. ISBN 978-968-880-799-6.

[5] Ralph P. Grimaldi (1998). «7», Matemàtiques discreta i combinatòria, 3 edició (en espanyol), Pearson Educació, p. 373. ISBN 978-968-444-324-2.

[6] Villalpando Becerra (2014). «3.8», Matemàtiques Discretes (en espanyol), Grup Editorial Pàtria, p. 76. ISBN 978-607-438-925-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]