Idempotencia

En matemàtica i llògica, la idempotencia és la propietat per a realisar una acció determinada vàries voltes i aixina i tot conseguir el mateix resultat que s'obtindria si es realisara una sola volta. Un element que complix esta propietat és un element idempotent, o un idempotent. D'esta manera, si un element en multiplicar-se per sí mateixa successives voltes dona ell mateixa, este element és idempotent. Per eixemple, els dos únics número real que són idempotents, per a l'operació producte (·), són 0 i 1. (0·0=0, 1·1=1).

Definició

Formalment, si $S$ és un magma, és dir, un conjunt en una operació binaria $*$, llavors un element $s\in S$ es diu idempotent si $s*s=s$. Si tot $s$ fora idempotent baix $*$, llavors l'operació en sí es denominaria operació idempotent. En particular, qualsevol element identitat és un idempotent baix $*$.

En àlgebra conjuntista, les operacions d'unió i intersecció de conjunts són idempotents. En efecte, l'unió o intersecció d'un conjunt conseguixc mateixa, entreguen com resultat el conjunt mateix.

Análogament, en àlgebra booleana, els operadors I (and, $\wedge$) i O (or, $\vee$) són idempotents. En efecte, si V=Verdader, F=Fals: $\text{V}\wedge \text{V}=\text{V},\text{V}\vee \text{V}=\text{V}$. Análogamente per a F.

En àlgebra llineal, la proyecció és idempotent. És dir, qualsevol matriu que proyecta tots els vectores sobre un subespacio V (no necessàriament ortogonalmente) és idempotent, si V mateixa està fix punt per punt.

Idempotencia en funcions

Una funció $f:M\to M$ d'un conjunt $M$ a sí mateixa es diu idempotent si es complix que per a la composició de funcions:

Açò és equivalent a dir que:

Eixemples trivials de funcions idempotents en S són la funció identitat i les funcions constants. Eixemples menys trivials són el valor absolut i la funció que assigna a cada subconjunt O d'un cert espai topològic X la clausura de O. L'última és una funció idempotent en el conjunt de parts de X. És un eixemple d'operador de clausura; pero no tots els operadors de clausura són funcions idempotents.

Tota funció constant és idempotent. Una funció $f:M\to M$ general és idempotent si satisfà dos condicions:

1. Té punts fixos, és dir, el conjunt de punts fixos no és buit: $\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x}(f):=\{x\in M|f(x)=x\}\ne \varnothing$
2. El conjunt image de la funció està inclós en el conjunt de punts fixos : $\mathrm{i}\mathrm{m}(f)\subset \mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x}(f)$.

Vore també

• Nilpotent
• Involució (matemàtica)
• Matriu idempotent