Espai topològic

Archiu:Topological space examples.svg

Quatre eixemples d'topología i dos que no ho són, en el conjunt de tres punts {1,2,3}.
L'eixemple inferior esquerre no és una topología perque l'unió {2} i {3}, igual a {2,3}, no és part de la colecció.
L'eixemple inferior dret tampoc, perque l'intersecció de {1,2} i {2,3}, igual a {2}, no és part de la colecció.

Un espai topològic és una estructura matemàtica que permet la definició formal de conceptes com convergència, conectivitat, continuïtat i veïnat, usant subconjunts d'un conjunt dau. La branca de les matemàtiques que estudia els espais topològics es diu topología. Les varietats, de la mateixa manera que els espais mètrics, són especialisació d'espais topològics en restriccions i estructures pròpies.

Història

Al voltant de 1735, Leonhard Euler va descobrir la fòrmula $V-A+C=2$ que relaciona el número de vèrtiços, arestes i cares d'un poliedre convexo, i per lo tant d'un grafo pla. L'estudi i generalisació d'esta fòrmula, concretament per part de Cauchy (1789-1857) i L'Huilier (1750-1840), va impulsar l'estudi de topología. En 1827, Carl Friedrich Gauss va publicar Investigacions generals de superfícies curves, que en la secció 3 definix la superfície curva de manera similar a la comprensió topològica moderna: "Es diu que una superfície curva posseïx curvatura contínua en un dels seus punts A, si la direcció de totes les llínees rectes traçades des de fins a punts de la superfície a una distància infinitament chicoteta des desvien infinitament poc d'un mateix pla que passa per A."

No obstant, "fins al treball de Riemann a principis de la década de 1850, les superfícies sempre es tractaven des d'un punt de vista local (com a superfícies paramètriques) i les qüestions topològiques mai es consideraven". "Möbius i Jordan semblen ser els primers en donar-se conte de que el principal problema de la topología de les superfícies (compactes) és trobar invariantes (preferiblement numèrics) per a decidir l'equivalència de les superfícies, és dir, decidir si dos superfícies són homeomorfos o no."

El tema està clarament definit per Felix Klein en el seu "Programa de Erlangen" (1872): les invariantes geomètriques de la transformació contínua arbitrària, una espècie de geometria. El terme "topología" va ser introduït per Johann Benedict Listing en 1847, encara que havia usat el terme en correspondència alguns anys abans en lloc de "Analysis situs" usat anteriorment. El fonament d'esta ciència, per a un espai de qualsevol dimensió, va ser creat per Henri Poincaré. El seu primer artícul sobre este tema va aparéixer en 1894. En la década de 1930, James Waddell Alexander II i Hassler Whitney varen expressar per primera volta l'idea de que una superfície és un espai topològic que és localment com un pla euclidiano.

Els espais topològics varen ser definits per primera volta per Felix Hausdorff en 1914 en el seu seminal "Principis de la teoria de conjunts". Els espais mètrics havien segut definits anteriorment en 1906 per Maurice Fréchet, encara que va ser Hausdorff qui va popularisar el terme "espai mètric" (en alemán: metrischer Raum).

Definició

Plantilla:Espai matemàtic 3 Formalment, es diu espai topològic al parell ordenat $(X,T)$ format per un conjunt $X$ i una topología $T$ sobre $X$, és dir, una colecció de subconjunts de $X$ que complix les tres propietats següents:

1. El conjunt buit i $X$ estan en $T$.

   $\varnothing \in T,X\in T$

2. l'intersecció de qualsevol subcolección finita de conjunts de $T$ està en $T$.

   $(O_1\in T,O_2\in T)\Rightarrow (O_1\cap O_2\in T)$

3. l'unió de qualsevol subcolección de conjunts de $T$ està en $T$.

Esta condició també s'escriu, formalment:

$\mathrm{\forall }S\subset T,\bigcup _{O\in S}O\in T$

Als conjunts pertanyents a la topología $T$ se'ls crida conjunts oberts o simplement oberts de $(X,T)$; i als seus complements en $X$, conjunts tancats.

Definició per mig de veïnatsPlantilla:Anchor

Esta axiomatisació es deu a Felix Hausdorff. Siga $X$ un conjunt; els elements de $X$ solen cridar-se punts, encara que poden ser qualsevol objecte matemàtic. Permetem que $X$ estiga buit. Siga $𝒩$ una funció que assigna a cada $x$ (punt) en $X$ una colecció no buida $𝒩(x)$ de subconjunts de $X.$ Els elements de $𝒩(x)$ es diran veïnats de $x$ sobre $𝒩$ (o, simplement, veïnats de $x$). La funció $𝒩$ es diu un entorn si els axiomas següents se satisfan; i llavors $X$ en $𝒩$ es diu un espai topològic'.

1. Si $N$ és un veïnat de $x$ (és dir, $N\in 𝒩(x)$), llavors $x\in N.$ En atres paraules, cada punt pertany a cada una dels seus veïnats.
2. Si $N$ és un subconjunt de $X$ i inclou un veïnat de $x,$ llavors $N$ és un veïnat de $x.$ És dir, cada superconjunto d'un veïnat d'un punt $x\in X$ és de nou un veïnat de $x.$
3. l'intersecció de dos veïnats de $x$ és un veïnat de $x.$
4. Qualsevol veïnat $N$ de $x$ inclou un veïnat $M$ de $x$ tal que $N$ és un veïnat de cada punt de $M.$

Els tres primers axioma de veïnat tenen un significat clar. El quart axioma té un us molt important en l'estructura de la teoria, el d'unir els veïnats de distints punts de $X.$

Un eixemple estàndar de tal sistema de veïnats és per a la recta real $ℝ,$ a on es definix que un subconjunt $N$ de $ℝ$ és un veïnat d'un número real $x$ si inclou un interval obert que continga a $x.$

Donada tal estructura, un subconjunt $U$ de $X$ es definix com a obert si $U$ és un veïnat de tots els punts de $U.$ Els conjunts oberts satisfan llavors els axioma donats a continuació. A l'inversa, donats els conjunts oberts d'un espai topològic, els veïnats que satisfan els axioma anteriors poden recuperar-se definint $N$ com a veïnat de $x$ si $N$ inclou un conjunt obert $U$ tal que $x\in U.$.

Definició per mig de conjunts oberts

Una topología sobre un conjunt $X$ pot definir-se com una colecció $\tau$ de subconjunts de $X$, cridats conjunts oberts i que satisfan els següents axioma:

1. El conjunt buit i $X$ mateixa pertanyen a $\tau .$
2. Qualsevol unió arbitrària (finita o infinita) de membres de $\tau$ pertany a $\tau .$
3. L'intersecció de qualsevol número finito de membres de $\tau$ pertany a $\tau .$

Com esta definició d'una topología és la més utilisada, el conjunt $\tau$ dels conjunts oberts es diu comunament una topología sobre $X.$

Es diu que un subconjunt $C\subseteq X$ és tancat en $(X,\tau )$ si el seu complement $X\setminus C$ és un conjunt obert.

Definició per mig de conjunts tancats

Usant les lleis de De Morgan, els axioma anteriors que definixen conjunts oberts es convertixen en axioma que definixen conjunts tancats':

1. El conjunt buit i $X$ són tancats.
2. L'intersecció de qualsevol colecció de conjunts tancats és també tancada.
3. L'unió de qualsevol número finito de conjunts tancats també és tancada.

Utilisant estos axioma, una atra forma de definir un espai topològic és com un conjunt $X$ junt en una colecció $\tau$ de subconjunts tancats de $X$. Aixina, els conjunts de la topología $\tau$ són els conjunts tancats, i els seus complements en $X$ són els conjunts oberts.

Atres definicions

Existixen moltes atres formes equivalents de definir un espai topològic: en atres paraules, els conceptes de veïnat, o el de conjunt obert o tancat poden reconstruir-se a partir d'atres punts de partida i satisfer els axioma correctes.

Una atra forma de definir un espai topològic és utilisant els axioma de tancament de Kuratowski, que definixen els conjunts tancats com els punts fixos d'un operador sobre el conjunt potencia de $X$.

Una ret és una generalisació del concepte de seqüència. Una topología està completament determinada si per a cada ret en $X$ s'especifica el conjunt dels seus punts d'acumulació.

Eixemples

• La topología trivial o indiscreta: és la formada per $\varnothing$ i $X$.
• La topología discreta: és la formada pel conjunt de les parts de $X$.
• La topología dels complements finitos: és la formada per $\varnothing$ i els conjunts de $X$, que els seus complementaris són finitos.
• La topología dels complements numerables: és la formada per $\varnothing$ i els conjunts de $X$, que els seus complementaris són numerables.
• Donat un subconjunt $A\subset X$, la colecció de subconjunts $\{\mathrm{\varnothing },A,X\}$ és una topología en X.
• R, conjunt dels reals, i T el conjunt dels intervals oberts en el sentit usual, i de les reunions (qualssevol) d'intervals oberts. En este cas un conjunt és obert si para tot punt d'ell existix un interval obert que conté al punt i dit interval obert està totalment contingut en el mencionat conjunt.
• Recta de Sorgenfrey: la recta real junt en la topología del llímit inferior.
• La topología de Sierpinski és la colecció T = {∅, {0}, X} sobre X = {0,1} i el parell (X,T) es diu espai de Sierpinski.

• Una topología T sobre X, usant algunes parts de A, que és part pròpia de X. El parell (X,T) és un espai topològic que els seus oberts són certes parts d'i el conjunt X. Per a este cas X = {a,b,c,d}; A ={a,b,c}; T = {∅,{a}, {a,b}, {a,b,c}, X} és una topología sobre X.

Topología induïda per la mètrica

En tot espai mètric (X,d) es pot definir de manera natural una topología donada per la mètrica de l'espai. En esta topología, denominada topología mètrica, els conjunts oberts són unions arbitràries de boles obertes: la bola oberta de centre $p\in X$ i ràdio $r$ és el conjunt dels punts de X que estan a una distància d de $p$ estrictament menor que $r$

$B(p,r)=\{q\in X\mid d(p,q)<r\}.$

La topología mètrica generalisa la noció usual de conjunt obert en la recta real i en els espais euclídeos de 2 o 3 dimensions, permetent una aproximació de caràcter local a la topología.

En lloc de considerar tot el conjunt, el punt de vista local consistix en preguntar-se: ¿quina relació té que haver entre un punt a qualsevol de A, i A per a que A siga un obert?

Archiu:Topología abierto 1.png

Si es considera l'eixemple més conegut, el dels intervals, un es dona conte de que els intervals oberts són els que no contenen punts en la seua frontera o vora, que són punts en contacte al mateix temps en A i en la seua complementari R - A.

En atres paraules, un punt d'un obert no està directament en contacte en el "exterior".

No estar en contacte significa intuitivamente que hi ha una certa distància entre el punt i l'exterior; cridem-la d. Llavors la bola B (a, d/2), de ràdio d/2 i de centre a està inclosa en A i no toca el complementari. En la figura, a està en l'interior de A, mentres que b està en la seua frontera, perque qualsevol veïnat de b troba R - A.

No totes les topología provenen d'una mètrica: hi ha espais que són metrisables i uns atres que no ho són. El Teorema de Nagata-Smírnov, entre uns atres, permet determinar si un espai topològic és metrisable o no.

La topología pretén abstraure conceptes familiars dels espais mètrics, pero sense fer referència a una distància. Per això, se substituïx el concepte de bola oberta per el, més general, d'entorn o veïnat. Un veïnat d'un punt x és este punt en una miqueta del seu entorn. Existix certa llibertat per a definir el significat de "entorn" i "veïnat" en tal de satisfer els axioma següents:

1. x pertany a tots els seus veïnats.
2. Un conjunt que conté un veïnat de x és un veïnat de x.
3. L'intersecció de dos veïnats de x és també un veïnat de x.
4. En tot veïnat V de x existix un atre veïnat O de x tal que V és un veïnat de tots els punts de U.

Cridem obert un conjunt que és un veïnat per a tots els seus punts.

Els axioma exposts en el punt de vista global estan verificats:

1. I és òbviament un veïnat per a tots els seus punts, i ∅ també perque no conté punt. (Una propietat universal: per a tot x... és forçosament certa en el conjunt buit.)
2. Una unió d'oberts O_i és un superconjunto de cada O_i, i O_i és un veïnat de tots els seus punts, per lo tant, l'unió és un veïnat de tots els seus punts, gràcies a la propietat (2).
3. Siga x un punt de l'intersecció dels oberts O₁ i O₂. O₁ i O₂ són oberts que contenen x i per lo tant veïnats d'ell. Una intersecció de veïnats de x és un veïnat de x (propietat 3), lo que implica que O₁ $\cap$ O₂ és un veïnat de tots els seus punts, i per lo tant un obert.

Propietats d'un espai topològic

• Compacidad
• Conectivitat
• Axioma de separació

Espais abstractes

Atres espais abstractes, relacionats.

Archiu:Espacios abstractos.svg

Vore també

• Glossari d'topología.
• Topología.

• Conjunt obert
• Conjunt tancat
• Conjunt compacte

• Punt interior
• Punt frontera
• Punt exterior
• Punt aïllat

• Punt de adherencia
• Punt d'acumulació

• Interior (topología)
• Frontera (topología)
• Exterior (topología)

• Successió

Bibliografia

• A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces, Springer.
• Gauss, Carl Friedrich (1827). General investigations of curved surfaces.
• Kuratowski, Kazimierz (1973). Introducció a la teoria de conjunts i a la topología.
• (28 de decembre de 1999) Topology, 2nd edition edició, Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Armstrong, M. A. (1983). Basic Topology, Springer. ISBN 0-387-90839-0.
• Bredon, Glen E., Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (October 17, 1997). Plantilla:Isbn.
• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).
• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids, Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8. (3rd edition of differently titled books)
• Čech, Eduard; Point Sets, Academic Press (1969).
• Fulton, William, Algebraic Topology, (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (September 5, 1997). Plantilla:Isbn.
• Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). Plantilla:Isbn.
• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). Plantilla:Isbn.
• Runde, Volker; A Taste of Topology (Universitext), Springer; 1st edition (July 6, 2005). Plantilla:Isbn.
• (1968).«Topology».Macdonald Technical & Scientific.
• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). Plantilla:Isbn.
• Vaidyanathaswamy, R. (1960). Set Topology, Chelsea Publishing Co.. ISBN 0486404560.
• Willard, Stephen (2004). General Topology, Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

Enllaços externs

• Espais Mètrics i Topològics (Wikilibro).
• Plantilla:Springer