Espai de Sierpinski

Plantilla:Distinguish En matemàtiques, el espai de Sierpiński (o el conjunt de dos punts conectats) és un espai topològic finito format per dos punts, dels quals només un és tancat. És l'eixemple més chicotet d'espai topològic que no siga el trivial ni el discret. El seu nom és en honor a Wacław Sierpiński.

Definició

L'espai de Sierpiński és el conjunt $S=\{0,1\}$ en la topología ${𝒯}_S$ següent:

${𝒯}_S=\{\mathrm{\varnothing },\{0\},S\}$

Propietats

Propietats bàsiques de l'espai de Sierpinski: Els únics conjunts oberts són $\mathrm{\varnothing }$, $\{0\}$ i $S$. Els únics conjunts tancats són $\mathrm{\varnothing }$, $\{1\}$ i $S$. La clausura de $\{1\}$ és $\{1\}$ i la de $\{0\}$ és $S$. És un espai de Kolmogórov ($T_0$). No és un espai de Fréchet ($T_1$). No és un espai de Hausdorff ($T_2$). No és un espai $T_n$ en $n>1$. És un espai compacte. És 1AN i 2AN. Tota successió en $S$ convergix a 0. Si una successió en $S$ convergix a 1, llavors té un número finito de térmens iguals a 0. És un espai no metrisable. És un espai conexo.

Vore també

• Espai topològic
• Espai metrisable
• Espai compacte
• Espai de Hausdorff

Bibliografia

• (1995).«Counterexamples in Topology».Springer-Verlag.Berlin, New York: