Espai de Hausdorff


Axioma de separació en espais topològics
T₀
T₁
T₂
T_2½
completament T₂
T₃
T_3½
T₄
T₅
T₆

En topología, un espai de Hausdorff, separat o $T_{2}$ és un espai topològic en el que punts distints tenen entorns disjuntos.

Els espais de Hausdorff es diuen aixina en honor de Felix Hausdorff, un dels fundadors de la topología. La definició original de Hausdorff d'un espai topològic (de 1914) incloïa la propietat de Hausdorff com a axioma.

Tot espai mètric (i per lo tant tot espai normado) és un espai de Hausdorff.

Definicions

Es diu que dos punts $x$ i $y$ d'un espai topològic $X$ complixen la propietat de Hausdorff si existixen dos entorns $U_{x}$ de $x$ i $U_{y}$ de $y$ tals que $U_{x} \cap U_{y} = \emptyset$ .

Es diu que un espai topològic és un espai de Hausdorff (o que verifica la propietat de Hausdorff, o que és separat o que és $T_{2}$ ) si tot parell de punts distints de l'espai verifiquen la propietat de Hausdorff.

(Observe's que si x = i, x i i no verifiquen la propietat de Hausdorff.)

Principals propietats dels Espais de Hausdorff

Tot espai de Hausdorff és també de Fréchet o T₁, i per lo tant també és un espai T D i també un espai de Kolmogórov o $T_{0}$ .
Aixina que, per ser $T_{1}$ , tot conjunt unitari és tancat (para tot punt el conjunt format per solament eixe punt {p} és un conjunt tancat).
En un espai de Hausdorff, les successions convergents convergixen a un únic punt.
Els subespacios d'un T₂ són T₂ (s'hereta).^[1]

Els espais cocients d'espais Hausdorff poden ser no Hausdorff. De fet, tot espai topològic pot construir-se com el cocient d'espais de Hausdorff.^[2] Tot espai mètric és de Hausdorff. En un espai de Hausdorff, els punts distints són topológicamente distinguibles.^[3]

Vore també

Bibliografia

Arkhangelskii, A.V., L.S. Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-18178-4.
Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).
Plantilla:Springer

Referències

↑ Matesfacil.ISSN 2659-8442.Consultat el 10 d'octubre de 2019.
↑ Shimrat, M. (1956). “Decomposition spaces and separation properties”. Quart. J. Math. 2: 128–129.
↑ Problemes i Equacions.ISSN 2659-9899.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Espacio de Hausdorff» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[mtf2-1] Matesfacil.ISSN 2659-8442.Consultat el 10 d'octubre de 2019.

[2] Shimrat, M. (1956). “Decomposition spaces and separation properties”. Quart. J. Math. 2: 128–129.

[3] Problemes i Equacions.ISSN 2659-9899.

[1]

[2]

[3]