Topología

Per a atres usos d'este terme vore Topología (desambiguación).

Archiu:Torus knot 2.stl La topología (del grec τόπος, 'lloc', i λόγος, 'estudi') és la branca de la matemàtica dedicada a l'estudi d'aquelles propietats dels cossos geomètrics que permaneixen inalteradas per transformacions contínues.^[1]

És una disciplina que estudia les propietats dels espais topològics i les funcions contínues. La topología s'interessa per conceptes com a proximitat, número de forats, el tipo de consistència (o textura) que presenta un objecte, comparar objectes i classificar múltiples atributs a on destaquen conectivitat, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre uns atres.

Els matemàtics usen la paraula topología en dos sentits: informalmente és el sentit dalt especificat, i de manera formal és la referència a una certa família de subconjunts d'un conjunt dau, família que complix unes regles sobre l'unió i l'intersecció —este segon sentit pot vore's desenrollat en l'artícul espai topològic—.

Idea intuïtiva

Coloquialmente, es presenta a la topología com la «geometria de la pàgina de goma (chicle)». Açò fa referència a que, en la geometria euclídea, dos objectes seran equivalents mentres pugam transformar un en un atre per mig d'isometrías (rotacions, translacions, reflexiones, etc.), és dir, per mig de transformacions que conserven les mides d'àngul, àrea, llongitut, volum i unes atres.

En topología, dos objectes són equivalents en un sentit molt més ampli. Han de tindre el mateix número de trossos, buits, interseccions, etc. En topología està permés doblar, estirar, encollir, retortillar, etc., els objectes, pero sempre que es faça sense trencar ni separar lo que estava unit, ni pegar lo que estava separat. Per eixemple, un triàngul és topológicamente lo mateix que una circumferència, ya que podem transformar un en una atra de forma contínua, sense trencar ni pegar. Pero una circumferència no és lo mateix que un segment, ya que caldria partir-la (o pegar-la) per algun punt.

Esta és la raó de que li la cride la «geometria de la pàgina de goma», perque és com si estiguérem estudiant geometria sobre un paper de goma que poguera contraure's, estirar-se, etc.

Una tassa transformant-se en una rosquilla (bou).

Un succeït habitual entre els topólogos (els matemàtics que es dediquen a la topología) és que «un topólogo és una persona incapaç de distinguir una tassa d'una rosquilla». Pero esta visió, encara que molt intuïtiva i ingeniosa, és biaixada i parcial. Per un costat, pot dur a pensar que la topología tracta solament d'objectes i conceptes geomètrics, sent més be al contrari, és la geometria la que tracta en un cert tipo d'objectes topològics. Per un atre costat, en molts casos és impossible donar una image o interpretació intuïtiva de problemes topològics o inclús d'alguns conceptes. És freqüent entre els estudiants primerizos escoltar que «no entenen la topología» i que no els agrada eixa branca; generalment es deu a que es mantenen en esta actitut gràfica. Per últim, la topología es nutrix també en bona mida de conceptes l'inspiració dels quals es troba en l'anàlisis matemàtic. Es pot dir que casi la totalitat dels conceptes i idees d'esta branca són conceptes i idees topològiques.

Un eixemple clarificador

Observem un pla del metro de Madrit. En ell estan representades les estacions i les llínees de metro que les unixen, pero no és geomètricament exacte. La curvatura de les llínees de metro no coincidix, ni la seua llongitut a escala, ni la posició relativa de les estacions... Pero aixina i tot és un pla perfectament útil. No obstant, este pla és exacte en cert sentit, puix representa fidelment cert tipo d'informació, l'única que necessitem per a decidir el nostre camí per la ret de metro: informació topològica.

Història de la topología

Històricament, les primeres idees topològiques concernixen al concepte de llímit i al de completitud d'un espai mètric, i es varen manifestar principalment en la crisis dels incommensurables dels pitagórico, davant l'aparició de número real no racionals. El primer acostament concret al concepte de llímit i també al d'integral apareix en el método de exhaución d'Arquímedes. L'aparició del anàlisis matemàtic en el XVII va posar en evidència la necessitat de formalisar els conceptes de proximitat i continuïtat, i l'incapacitat de la geometria per a tractar este tema. Va ser precisament la fundamentación del càlcul infinitesimal, aixina com els intents de formalisar el concepte de varietat en Geometria els que varen impulsar l'aparició de la topología a finals de el XIX i principis de el XX.

Se sol datar l'orige de la topología en la resolució per part d'Euler del problema dels ponts de Königsberg, en 1735. Certament, la resolució de Euler del problema utilisa una forma de pensar totalment topològica, i la solució del problema nos du a la característica de Euler, el primer invariante de la topología algebraica, pero seria molt arriscat i arbitrari datar en eixe moment l'aparició de la topología. La situació és exactament anàloga a la del càlcul de l'àrea de l'elipse per Arquímedes.

El terme topología va ser usat per primera volta per Johann Benedict Listing en 1836 en una carta al seu antic professor de l'escola primària, Müller, i posteriorment en el seu llibre Vorstudien zur Topologie ('Estudis previs a la topología'), publicat en 1847. Anteriorment li la denominava analysis situs. Maurice Fréchet va introduir el concepte d'espai mètric en 1906.

**Cronologia**^[2]
Any	Acontenyiment
300 a. C.	Euclides definix les seccions còniques i estudia els poliedres regulars, una de les formes més bàsiques estudiades pels topólogos.
250 a. C.	Arquímedes investiga les curves espiralés i els poliedres truncats.
1735 d. C.	Leonhard Euler resol el problema dels ponts de Königsberg.
1858	Els alemans August Möbius i Johann Benedict Listing descobrixen en forma independent la hui cridada banda de Möbius.
1890	Giuseppe Peano aplicant la definició de Jordán demostra que una quadrada farcidura també és una curva.
Década de 1920	Pável Urysón i Karl Menger definixen el concepte de curva a partir de la topología.

Desenroll formal

En l'artícul Glossari d'topología es troba una colecció de térmens topològics en el seu significat. Ací i ara nos llimitarem a donar algunes nocions bàsiques.

Com hem dit, el concepte fonamental de la topología és la "relació de proximitat", que pot semblar ambigua i subjectiva. El gran guany de la topología és donar una formulació precisa, objectiva i útil d'este concepte. Per a això prenem un conjunt de referència $X$ , que serà l'ambient en el que nos mourem, i al que cridarem espai. Prendrem un element qualsevol $x$ de $X$ . Als elements de l'espai se'ls crida punts, aixina que $x$ serà cridat punt, independentment de que $x$ siga una funció, un vector, un conjunt, un ideal maximal en un anell conmutativo i unitari. Un subconjunt $V$ de $X$ serà un entorn de $x$ si $V$ inclou un conjunt obert $G$ de manera que $x$ és element de $G$ . ¿Qué entendrem per conjunt obert? Ací està el quid de la qüestió: una colecció $T$ de subconjunts de $X$ es dirà que és una topología sobre $X$ si $X$ és un dels elements d'eixa colecció, si $\emptyset$ és un element de la colecció, si l'unió d'elements de la colecció dona com resultat un element de la colecció i si l'intersecció finita d'elements de la colecció també és un element de la colecció. Als elements de la colecció $T$ se'ls denomina oberts de la topología $T$ , i al parell $(X, T)$ se li denomina espai topològic.

Per tant, les condicions per a que $T$ siga topología sobre $X$ són les següents:

(1) \emptyset \in T, X \in T

(2) (O_{1} \in T, O_{2} \in T) \Rightarrow (O_{1} \cap O_{2} \in T)

(3) \forall S \subset T, \cup_{O \in S} O \in T

Pot semblar estrany que d'una definició tan altament formal i conjuntista s'obtinga una formulació precisa del concepte de proximitat. Lo primer que s'observa és que sobre un mateix espai $X$ es poden definir distintes topología, generant llavors distints espais topològics. Per una atra part, precisament la manera en que quede determinada una topología sobre un conjunt (és dir, l'elecció del criteri que nos permeta decidir si un conjunt dau és o no obert) és lo que va a donar caràcter "visualisable" o no a eixe espai topològic.

Una de les maneres més senzilles de determinar una topología és per mig d'una distància o mètrica, método que solament és aplicable en alguns casos (si be és cert que molts dels casos més interessants d'topología en la Geometria i de l'Anàlisis Matemàtic poden determinar-se per mig d'alguna distància). Una distància sobre un conjunt $X$ és una aplicació $d : X \times X ⟶ ℝ$ que verifica les següents propietats:

d (x, y) \geq 0

;

d (x, y) = d (y, x)

d (x, y) = 0

si i solament si

x = y

;

d (x, y) \leq d (x, z) + d (z, y)

qualssevol que siguen $x, y, z \in X$ .

Si tenim definida una distància sobre $X$ , direm que la parella

(X, d)

és un espai mètric. Donat un espai mètric $(X, d)$ , queda determinada una topología sobre $X$ en la que els conjunts oberts són els subconjunts $G$ de $X$ tals que qualsevol que siga el punt $x$ de $G$ existix un número $ϵ > 0$ de tal manera que el conjunt ${y \in X : d (x, y) < ϵ}$ està totalment inclós en $G$ . Al conjunt ${y \in X : d (x, y) < ϵ}$ se li denomina bola oberta de centre $x$ i ràdio $ϵ$ , i serà precisament un entorn del punt $x$ .

Com s'ha apuntat abans, per desgràcia no tota topología prové d'una distància, és dir, existixen espais topològics que no són espais mètrics. Quan un espai topològic és ademés espai mètric (açò és, quan donada una topología sobre un conjunt, pot definir-se en eixe conjunt una distància de manera que la topología generada per la distància coincidixca en la topología donada) es diu que l'espai topològic és metrisable. Un problema clàssic en topología és el de determinar qué condicions deu satisfer un espai topològic per a que siga metrisable.

Branques de la topología

Se solen considerar principalment tres branques:

Ademés d'estes tres branques, que podríem dir pròpiament topològiques, l'implicació en major o menor mida en atres disciplines matemàtiques fan que molts consideren part de la topología al anàlisis funcional, la teoria de la mida, la teoria de nucs (part de la topología de dimensions baixa), la teoria de grups topològics, etc. És fonamental la seua contribució a la teoria de grafos, anàlisis matemàtic, equacions diferencials, equacions funcionals, variable complexa, geometria diferencial, geometria algebraica, àlgebra conmutativa, estadística, teoria del caos, geometria fractal... Inclús té aplicacions directes en biologia, sociologia, etc.

Topología general o conjuntista

Constituïx la base dels estudis en topología. En ella es desenrollen tòpics com lo que és un espai topològic o els entorns d'un punt.

Conceptes fonamentals referits a la topología d'un conjunt

Topología, espai topològic, oberts, tancats, subespacios

Siga $X$ un conjunt qualsevol i $P (X)$ el conjunt de les seues parts. Una topología sobre $X$ és un conjunt $τ \subset P (X)$ que complixca que $X \in τ$ , $\emptyset \in τ$ , si $A, B \in τ$ llavors $A \cap B \in τ$ , i que si $S \subset τ$ llavors $\cup_{G \in S} G \in τ$ . Als elements de $τ$ se'ls denomina conjunts oberts. Al parell $(X, τ)$ se li denomina espai topològic. Als elements de $X$ se'ls sol denominar punts.

Note's que des d'un primer moment hem especificat que el conjunt $X$ és qualsevol, no necessàriament un conjunt de naturalea geomètrica. La denominació d'espai (topològic) i de punt es manté aun cuando $X$ siga un conjunt de números, de funcions, d'equacions diferencials, de figures geomètriques, de vectores, de conjunts...

Com pot observar-se, la definició és molt formal i general, i lo primer que s'observa és que sobre un mateix conjunt poden donar-se multitut d'topología distintes. Aixina és. Pero de moment, els conceptes de conjunt obert en $ℝ$ o en $ℝ^{2}$ o $ℝ^{3}$ complixen les condicions exigibles a una topología. És precisament el comprovar que atres famílies de conjunts en atres conjunts de naturalea no geomètrica que compartixen estes mateixes propietats (com en el conjunt de solucions d'una equació diferencial, o el conjunt dels zeros dels polinomis en coeficients en els ideals en un anell conmutativo, per eixemple) lo que motiva esta definició. Aixina podrem aplicar a estos conjunts les mateixes (o paregudes) tècniques topològiques que apliquem als oberts del pla, per eixemple. La situació és anàloga a la que es dona en Àlgebra Llineal quan es passa de treballar en $ℝ^{2}$ o $ℝ^{3}$ a treballar en espais vectorials arbitraris.

En lo que seguix, $(X, τ)$ representarà sempre un espai topològic.

Lligat al concepte de conjunt obert està el de conjunt tancat. Un conjunt $F \subset X$ es diu que és tancat si el seu complementari $X ∖ F$ és un conjunt obert. És important observar que un conjunt que no és obert no necessàriament ha de ser tancat, i un conjunt que no siga tancat no necessàriament ha de ser obert. Aixina, existixen conjunts que són oberts i tancats al mateix temps, com $\emptyset$ , i poden existir conjunts que no siguen ni oberts ni tancats.

És immediat comprovar que l'intersecció de tancats és un conjunt tancat, que l'unió d'una cantitat finita de conjunts tancats és un conjunt tancat, i que tant $X$ com $\emptyset$ són conjunts tancats.

Si $Z \subset X$ , el conjunt $τ_{Z} : = {G \cap Z : G \in τ}$ és una topología per a $Z$ . Es dirà llavors que l'espai $(Z, τ_{Z})$ és subespacio topològic de el $(X, τ)$ .

La noció de subespacio topològic es presenta de manera natural, i és el concepte anàlec al de

subgrup en Teoria de Grups o al de subespacio vectorial en Àlgebra Llineal.

Una propietat relativa a espais topològics es diu que és hereditària quan si un espai la té, llavors també la té qualsevol dels seus subespacios.

Base d'una topología, entorns, bases locals, axioma de numerabilidad

Una família $(B) \subset T$ es diu que és base (de la topología $T$ ) si para qualsevol que siga el $G \in T$ existix un conjunt $M \subset (B)$ de manera que $G = \cup_{B \in M} B$ .

No sempre és cómodo treballar en una topología. A voltes resulta més complicat establir una topología que una base d'topología (com en espais mètrics). En qualsevol cas, una base és una manera molt cómoda d'establir una topología. Encara més senzill és establir una subbase, que és una família de conjunts para la que el conjunt de les seues interseccions finitas forma una base d'topología. Un dels casos més importants d'topología, la dels espais mètrics, ve dau per una base, la del conjunt de boles obertes de l'espai.

Un espai topològic es diu que complix el Segon Axioma de Numerabilidad (IIAN) si existix alguna base de la seua topología que tinga cardinalidad numerable.

Siga $A \subset X$ un conjunt qualsevol i siga $x \in A$ un punt arbitrari. Es diu que $A$ és entorn de $x$ si existix un conjunt obert $G$ de manera que $x \in G \subset A$ . Tot conjunt obert és entorn de tots els seus punts. Al conjunt de tots els entorns d'un punt $x$ se li denomina sistema d'entorns de $x$ .

Observe's que no s'ha exigit que un entorn siga un conjunt obert. Els entorns oberts són un tipo d'entorns molt útils (sobretot en Geometria i Anàlisis) i molt usats, tant que en moltes ocasions s'omet el calificatiu obert. Açò és un abús de llenguage i deu evitar-se.

Una colecció $(V)$ d'entorns d'un mateix punt x es diu que és una base d'entorns (o base local) de $x$ si donat qualsevol entorn $V$ de $x$ existix un $B \in (V)$ de manera que $B \subset V$ .

Es diu que un espai topològic complix el Primer Axioma de Numerabilidad (IAN) si cada punt de l'espai té alguna base local de cardinal numerable.

Subconjunts notables associats a un conjunt

Ara podem establir una série de definicions de gran importància, puix seran les peces bàsiques de l'estudi de la topología i constituiran la matèria primera dels conceptes posteriors.

Interior, exterior, frontera

Un punt $x \in X$ es dirà que és un punt interior de $A$ si existix un entorn $N$ de $x$ tal que $N \subset A$ . Aixina, el conjunt dels punts interiors a $A$ és un conjunt obert, denominat Interior de A, denotat per Int (A) o també com $\overset{\circ}{A}$ . És el major conjunt obert inclós en A.

Un punt $y \in X$ es dirà que és un punt exterior a $A$ si existix un entorn $N$ de $y$ tal que $N$ ⊂ $X ∖ A$ .^[3] Aixina mateix, el conjunt dels punts exteriors a $A$ és un atre conjunt obert, denominat Exterior de A i denotat per Ext (A).

Un punt $z \in X$ es diu que és un punt frontera de $A$ si tot entorn $V$ de $z$ és tal que $V \cap A \neq \emptyset$ i $V \cap (X ∖ A) \neq \emptyset$ . Al conjunt dels punts frontera de $A$ se li denomina Frontera de A i es denota per Fr(A). En atres paraules, tot entorn en centre en $z$ tindrà elements pertanyents al conjunt $A$ i atres elements fora del conjunt $A$ . La frontera de $A$ és un conjunt tancat.

Adherencia, acumulació, punts aïllats

Un punt $x \in X$ es diu que és un punt de adherencia de $A$ si tot entorn $V$ de $x$ és tal que $A \cap V \neq \emptyset$ . Es fa puix evident que tot punt interior i tot punt frontera és punt de adherencia. Al conjunt dels punts de adherencia del conjunt $A$ se li denomina adherencia o clausura de $A$ , i es denota per $C l (A)$ o per $\bar{A}$ . La clausura d'un conjunt $A$ és un conjunt tancat, i és el menor conjunt tancat que conté al conjunt.

Un punt $x \in X$ es diu que és un punt d'acumulació de $A$ si tot entorn $V$ de $x$ és tal que $(V ∖ {x}) \cap A \neq \emptyset$ . Al conjunt dels punts d'acumulació d'un conjunt se li denomina acumulació del conjunt, o conjunt derivat, i se li denota per $A^{d}$ o per $A^{'}$ .

Un punt $x \in X$ es diu que és un punt de $Ω$ -acumulació de $A$ si tot entorn $V$ de $x$ és tal que $(V ∖ {x}) \cap A$ és un conjunt infinit. Al conjunt dels punts de $Ω$ -acumulació d'un conjunt se li denomina $Ω$ -acumulació del conjunt, o conjunt $Ω$ -derivat, i se li denota per $A_{Ω}^{d}$ o per $A'_{Ω}$ . Tot punt de $Ω$ -acumulació és punt d'acumulació, i tot punt d'acumulació és punt de adherencia del mateix conjunt.

Un punt $x \in X$ es diu que és un punt aïllat de $A$ si existix algun entorn perforat $V$ de $x$ (és dir, un conjunt $V \subset X$ de manera que $V \cup {x}$ és un entorn de $x$ ) de manera que $V \cap A = \emptyset$ . Al conjunt dels punts aïllats de $A$ se li denomina conjunt dels punts aïllats de $A$ , i se li denota per $A^{a}$ . Tot punt aïllat és punt frontera i també és punt de adherencia del mateix conjunt.

En topología són d'una importància capital els conjunts interior i clausura d'un conjunt. La seua importància radica en ser, respectivament, el major obert contingut en el conjunt i el menor tancat que conté al conjunt. L'interior pot obtindre's també com l'unió de tots els oberts continguts en el conjunt, i la clausura com l'intersecció de tots els tancats que contenen al conjunt. Sense tanta importància en topología pero de molta en atres àrees de la Matemàtica són els conjunts d'acumulació, frontera i dels punts aïllats d'un conjunt.

Conceptes fonamentals referits a aplicacions contínues i convergència

Convergència

L'idea de la convergència és la de "aproximar" un objecte per un atre, és dir, substituir un objecte per un atre que està pròxim a ell. Evidentment, en fer-ho aixina s'està cometent un error, error que en general dependrà de lo pròxim que es trobe l'objecte substituït de l'objecte substitut. Per a fer esta substitució d'una manera sistemàtica, de manera que l'error puga ser elegit arbitrariamente menut, apareixen distints tipos de conjunts. S'obté aixina un procés de successives aproximacions que, si tot va be, terminarien duent-nos a l'objecte, encara que fora despuix d'un número infinit d'aproximacions. El més senzill d'estos conjunts és una successió, és dir, una colecció infinita (numerable) i ordenada d'objectes, encara que en el mateix caràcter d'orde hi ha atres conjunts que reflectixen millor el concepte de convergència.

És important observar que la topología no treballa en errors ni en aproximacions. Això entra en l'àmbit del Anàlisis Numèric i inclús del Anàlisis Matemàtic. La topología lo que fa en este problema és aportar les ferramentes bàsiques i els conceptes teòrics per a afrontar correctament el problema, sempre des d'un punt de vista conceptual i qualitatiu. Estudia qué és lo que deu entendre's quan es diu que un conjunt (com pot ser una successió) s'acosta a un objecte (que pot ser un punt, un conjunt, etcétera).

Convergència de successions

Una successió és una aplicació en un conjunt el domini del qual és el conjunt dels número natural. En particular, una successió en un espai topològic $(X, T)$ és una aplicació $(x_{n})_{n \in ℕ} : ℕ ⟶ X$ .

Una successió és el cas més senzill d'aplicació de domini infinit.

Es diu que $x \in X$ és un punt llímit de la successió $(x_{n})_{n \in ℕ}$ , o be que $(x_{n})_{n \in ℕ}$ convergix al punt $x$ , si es complix que, qualsevol que siga l'entorn $V$ de $x$ existix un número natural $n_{0}$ de tal manera que si $n$ és un atre número natural major o igual que $n_{0}$ (o siga, $n \geq n_{0}$ ) llavors es complix que $x_{n} \in V$ .

Cal fer dos observacions sobre açò:

En primer lloc, pot donar-se el cas de que la successió no tinga punts llímits, o inclús que tinga més d'un punt llímit. Al conjunt de punts llímits d'una successió $(x_{n})_{n \in ℕ}$ se li denomina llímit de $(x_{n})_{n \in ℕ}$ (i se li denota per $\lim_{n \in ℕ} x_{n}$ , o també per $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ ).
En segon lloc, l'interpretació d'este concepte és la següent: tan prop com vullgam d'un punt llímit podem trobar a tots els punts de la successió, llevat a lo més a una cantitat finita d'ells (que podrà o no ser molt gran, pero no deixa de ser finita).

Un punt $x \in X$ és punt d'aglomeració de la successió $(x_{n})_{n \in ℕ}$ si qualsevol que siga l'entorn $V$ de $x$ es complix que el conjunt ${n \in ℕ : x_{n} \in V}$ és infinit. Tot punt llímit és punt d'aglomeració, pero el recíproc no és cert. Per eixemple, els llímits d'oscilació d'una successió no convergent d'número real (com per eixemple la successió $(- 1)^{n} + \frac{1}{n}$ ) són punts d'aglomeració, pero no són punts llímits (no existix llímit per a dita successió, mentres que 1 i -1 són punts d'acumulació).

Continuïtat d'aplicacions

Un atre concepte totalment fonamental estudiat en esta branca és el d'aplicació contínua. Una aplicació $f : X ⟶ Y$ entre dos espais topològics es diu que és contínua si donat qualsevol conjunt $G$ obert en $Y$ , el conjunt $f^{- 1} (G) = {x \in X : f (x) \in G}$ és un conjunt obert en $X$ .

En la mateixa notació, si $x \in X$ , direm que $f$ és contínua en $x$ quan s'obté que $f^{- 1} (V)$ és un entorn de $x$ , qualsevol que siga l'entorn $V$ de $f (x)$ .

És immediat llavors comprovar que $f$ és contínua quan i solament quan és contínua en $x \in X$ , qualsevol que siga est, és dir, quan i solament quan siga contínua en cada u dels punts del seu domini.

Informalmente parlant, una aplicació és contínua si transforma punts que estan prop en punts que estan prop, és dir, si respecta la "relació de rodalia". Açò ademés vol dir que una funció contínua no "trenca" els que està unit i no "pega" lo que està separat.

Conjunts conexos, conexos per camins i arc-conexos

Un conjunt es diu que és conexo si no pot expressar-se com a unió de dos oberts disjuntos no buits.

Un conjunt $X$ es diu que és conexo per camins si tot parell de punts pot unir-se per mig d'un camí, açò és, $\forall x, y \in X \exists ϕ : [0, 1] ⟶ X$ contínua de tal manera que $ϕ (0) = x$ i $ϕ (1) = y$ . Tot conjunt conexo per camins és conexo, pero no tot conjunt conexo és conexo per camins (vore, per eixemple, el sen del topólogo).

Estos conjunts estan "fets d'una peça" (els conexos) o "fets de manera que no tenen peces totalment soltes" (els conexos per camins). Naturalment açò és solament una manera d'interpretar-los. Les peces d'un conjunt (els majors subconjunts conexos que conté el conjunt) es denominen "components conexas". Per eixemple, un grapat d'arena seria un conjunt en el que les components conexas són cada granit d'arena. Un espill trencat seria un conjunt en el que cada tros d'espill és una component conexa. Una bola de ferro és un conjunt en una sola component conexa, és dir, un conjunt conexo. Una reixeta també és un conjunt conexo, format per una sola component conexa.

Existix una atra noció de conexió, la conexió per arcs o arc conexió llaugerament més restrictiva que la conexió per camins. S'exigix que el camí siga un homeomorfisme sobre la seua image. Aixina i tot, la conexió per arcs i per camins coincidixen sobre els espais de Hausdorff.

Compacidad

Els conjunts compactes són un tipo de conjunt molt més difícils de definir. Un espai és compacte si para tot recobriment per oberts (família d'oberts l'unió dels quals conté a l'espai total X) existix subrecubrimiento finito (família finita d'oberts, formada solament per conjunts de la família anterior, l'unió de la qual conté a X).

En un espai mètric, un conjunt compacte complix dos condicions: és "tancat", és dir conté a tots els seus punts frontera; i és "acotat", és dir és possible traçar una bola que ho continga, encara que la recíproca no és necessàriament certa. És dir, poden existir conjunts tancats i acotats que no siguen compactes. La compacidad és una propietat molt important en topología, aixina com en Geometria i en Anàlisis Matemàtic.

En qualsevol espai topològic, un conjunt tancat dins d'un compacte, sempre és compacte. Ademés, en un espai topològic de Hausdorff, un compacte sempre és tancat.

Metrización

Una topología sobre un conjunt és metrisable si és possible trobar una distància de manera que els oberts per a eixa distància siguen exactament els oberts de la topología de partida. La metrizabilidad és també una propietat molt desijable en un espai topològic, puix nos permet donar una caracterisació molt senzilla dels oberts de la topología, ademés d'implicar atres certes propietats.

Separació

Les propietats de separació són certes propietats, cada una un grau més restrictiva que l'anterior, que nos indiquen la "resolució" o "finura del gra" d'una topología. Per eixemple, la propietat de separació T2 significa que per a dos punts distints sempre poden trobar-se entorns disjuntos (és dir que no es tallen).

Densitat

Un conjunt és dens en l'espai si està "prop de tots els punts" d'eixe espai. De manera més precisa, un conjunt és dens si el seu clausura topològica és tot l'espai. Equivalentemente, un conjunt és dens si la seua intersecció en qualsevol obert no buit de l'espai és també no buida. Un conjunt es diu que és separable si té algun subconjunt dens i numerable.

Topología producte i topología cocient

La topología producte nos proporciona una manera de dotar d'una topología al producte cartesiano de varis espais topològics, de tal manera que es conserven bones propietats, en particular que les proyeccions sobre cada factor siguen aplicacions contínues i obertes. La topología cocient nos proporciona una manera de dotar d'una topología al cocient (espai de classes) d'un espai per una relació d'equivalència, de manera que tinga el major número possible de conjunts oberts i no obstant la proyecció siga contínua (és dir l'image recíproca de cada obert siga un obert).

Topología algebraica

La topología algebraica estudia certes propietats relacionades en la conexió d'un espai, propietats que podríem descriure com la "porosidad" d'un espai, la cantitat de boquetes que presenta. Per a això es val d'instruments algebraics, fonamentalment la teoria de grups i l'àlgebra homológica, fins a tal punt que el seu desenroll és totalment algebraic.

En la topología algebraica es consideren una gran diversitat de problemes inclosos en la teoria de nucs per eixemple, o en la teoria de homotopía i la teoria d'homologia.

Per a comprendre sucintamente estes qüestions, tornem als eixemples de conjunts conexos. Segons hem dit, una reixeta, una bola de ferro o una esponja són conjunts conexos. No obstant tots entenem que sembla que no tenen el mateix «graus de conexió», per expressar-ho d'alguna manera. Mentres que una bola de ferro és massiça, una esponja i una reixeta tenen forats, i inclús sembla clar que entre estos hi ha també una certa diferència. La homotopía i l'homologia tracten estes qüestions.

Vore també

[[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.
Forat de cuc
Espai topològic
Banda de Möbius
Botella de Klein
Nuc borromeo
Problema dels ponts de Königsberg
Topología cocient
Topología quàntica
Topología geoespacial
Topología geomètrica
Glossari d'topología
Origami

Referències

↑ Stewart, Ian: Conceptes de matemàtica moderna. Aliança Universitat, 1988. p. 171.
↑ Tony Crilly (2011). 50 coses que cal saber sobre matemàtiques, Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.
↑ Ayala i uns atres: "Elements de la topología general" ISBN 84-7829-006-0

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Topología.

Topología en el Viccionari. Topología en Viquidites. Plantilla:Wikilibros Plantilla:Wikiversidad

http://www.ehu.es/mtwmastm/sigma20.pdf Marta Macho Stadler: ¿Qué és la topología?
https://web.archive.org/web/20090419031102/http://rinconmatematico.com/chamizo/aptopo.pdf La Topología... no és tan difícil.
http://topologia.wordpress.com Jocs topològics.
http://www.elcorreoelectronico.com/esquemas-topologia/topologia La Topología en el correu electrònic.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Topología» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Stewart, Ian: Conceptes de matemàtica moderna. Aliança Universitat, 1988. p. 171.

[50COSAS-2] Tony Crilly (2011). 50 coses que cal saber sobre matemàtiques, Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

[3] Ayala i uns atres: "Elements de la topología general" ISBN 84-7829-006-0

[1]

[2]

[3]