Banda de Möbius

La cinta o banda de Möbius o Moebius (/ˈmøːbjʊs/) és una superfície en una sola cara i una sola vora. Té la propietat matemàtica de ser un objecte no orientable. També és una superfície reglada. Va ser descoberta de forma independent pels matemàtics alemans August Ferdinand Möbius i Johann Benedict Listing en 1858. Encara que les seues primeres representacions poden vore's en el mosaic romà de començos de el III trobat en una vila de Sentinum, Gliptoteca de Munich (Inv. W504), a on es representa al Deu Aion dins d'una banda de Möbius circular.

Banda de Möbius conformada en una cinta de paper, els extrems del qual s'han unit girant-los

Construcció d'una cinta de Möbius

Per a construir una cinta de Möbius, es pren una tira de paper, es dona mig regrés a un dels seus extrems i es peguen els dos extrems.

Propietats

La banda de Möbius posseïx les següents propietats:

És una superfície no orientable: Si es partix en una parella d'eixos perpendiculars orientats, en desplaçar-se paralelament a lo llarc de la cinta, es tornarà al punt de partida en l'orientació invertida. Açò es pot visualisar colocant un objecte asimètric bidimensional en la cinta i fer que la recórrega. Quan torne al punt de partida, la seua image serà la mateixa pero reflectida. Per eixemple, una persona que s'esgolara «tombada» sobre una banda de Möbius, mirant cap a la dreta, en recórrer un regrés complet apareixerà mirant cap a l'esquerra. Un atre eixemple és el carranc de l'image.

Un objecte bidimensional que recórrega una volta la banda de Möbius torna a la seua posició original reflectit.

• En relació en lo anterior, immersa en l'espai euclídeo, és una superfície que només posseïx una cara: Si es colorea la superfície d'una cinta de Möbius, començant per la «aparentment» cara exterior, al final queda coloreada tota la cinta, per tant, solament té una cara i no té sentit parlar de cara interior i cara exterior. No obstant, esta és una propietat de l'immersió en ${ℝ}^3$ més que de la pròpia banda de Möbius com espai topològic, puix existixen immersions de la mateixa en atres espais en que sí que té dos cares. Per eixemple, si prenem les cares davantera i atrassera d'un gaveta i les peguem girant l'orientació d'esquerra a dreta, el resultat és un espai topològic tridimensional (el producte cartesiano de la banda de Möbius en un interval) en el qual les mitats superior i inferior de la gaveta queden separades per una banda de Möbius en dos cares.
• Té solament una vora: Es pot comprovar seguint la vora en un dit, apreciant que s'alcança el punt de partida despuix d'haver recorregut la totalitat de la vora. És dir, un camí a lo llarc de la vora de la banda de Möbius traçat fins que torna al punt inicial recorre tota la vora de la banda Möbius en un sol camí continu. En la construcció típica de prendre un rectàngul i enganchar els seus extrems havent girat un, la vora té el doble de llongitut que la llínea formada pel centre de la banda.

  

  Gràfica paramètrica d'una banda de Möbius

• Si es talla una cinta de Möbius a lo llarc, s'obtenen dos resultats diferents, segons on s'efectue el tall. Si el tall es realisa en la mitat exacta de l'ample de la cinta, s'obté una banda més llarga pero en dos regressos, és dir, no desconecta la banda; si a esta banda li la torna a tallar a lo llarc pel centre del seu ample, s'obtenen atres dos bandes entrellaçades, i ara sí que es desconecta. A mida que es van tallant a lo llarc de cada una, se seguixen obtenint més bandes entrellaçades.

Si el tall no es realisa en la mitat exacta de l'ample de la cinta, sino a qualsevol atra distància fixa de la vora, s'obtenen dos cintes entrellaçades diferents: una d'idèntica llongitut a l'original i una atra en el doble de llongitut. En este cas, tallar per eixa curva sí desconecta la banda de Möbius.

• La banda de Möbius pot "contraure's" contínuament cap a la curva central (la curva en la mitat exacta de l'ample de la banda), fent-la més estreta mentres els punts de la curva central es mantenen fixos. Esta transformació és un eixemple de lo que en topología es coneix com una retracció de deformació, i la seua existència implica que la banda de Möbius té moltes propietats paregudes a les d'eixa curva, que és topológicamente equivalent a una circumferència. En particular, són espais homótopos i, com a tals, tenen el mateix grup fonamental, un grup cíclico infinit. Açò vol dir que els camins continus que escomencen i acaben en el mateix punt de la banda poden ser distinguits llevat homotopía ("deformació contínua d'un en un atre") pel número de regressos que donen a la banda.
• La banda de Möbius es pot separar en sis regions mútuament adjacents. Açò mostra que un "mapa" en una banda de Möbius pot requerir a voltes sis colors per a ser pintat sense que dos "països" adjacents tinguen el mateix color. Açò contrasta en el teorema dels quatre colors que es té en el pla (tot mapa en el pla requerix com a molt quatre colors per a ser pintat d'eixa manera). Ademés, sis colors són sempre suficients. Açò forma part del teorema de Ringel-Youngs, que establix quànts colors basten per a cada superfície. Els vèrtiços i arestes d'estes regions formen el grafo de Tietze, que és, en la banda de Möbius, el grafo dual del grafo complet de sis vèrtiços, que no es pot dibuixar sense que es autointerseque en el pla. Una atra família de grafos que es poden dibuixar en la banda de Möbius pero no en el pla són les escales de Möbius. Estes inclouen el grafo d'utilitats, un grafo bipartito complet de sis vèrtiços, lo que mostra que, al contrari que en el pla, el problema dels tres servicis es pot resoldre en una banda de Möbius transparent.
• La característica de Euler de la banda de Möbius és zero (mentres que en el pla és 2), lo que significa que, per a qualsevol de la banda en regions per mig de vèrtiços i arestes, els números $V$ de vèrtiços, $E$ d'arestes i $F$ de regions (cares) formades satisfan que $V-E+F=0$. Per eixemple, el grafo de Tietze té 12 vèrtiços, 18 arestes i 6 regions; $12-18+6=0$.

Esta forma geomètrica s'utilisa freqüentment com a eixemple en topología.

Vore també

• Topología
• Botella de Klein
• Gorra creuada
• Jacques Lacan

Referències

Referències matemàtiques

També se li fa referència en la película de Marvel Els Vengadores: End game, a on Tony Stark usa la cinta per a resoldre el dilema dels viages en el temps.