Botella de Klein
En topología, una botella de Klein és una superfície no orientable oberta que la seua característica de Euler és igual a 0; no té interior ni exterior. Atres objectes no orientables relacionats són la banda de Möbius i el pla proyectivo real. Mentres que una banda de Möbius és una superfície en una sola vora, una botella de Klein no té vora. Tampoc ho té una esfera, encara que esta sí és orientable.
La botella de Klein va ser descrita per primera volta en 1882 pel matemàtic alemà Felix Klein. El nom original de l'objecte no va ser el de botella de Klein (en alemà Kleinsche Flasche), sino el de Superfície de Klein (en alemà Kleinsche Fläche). El traductor de la primera referència al objeto de l'alemà al anglés va confondre les paraules. Com l'apariència de la representació tridimensional recorda a una botella, casi ningú es va donar conte de l'error.
Construcció
[editar | editar còdic]Comencem en un quadrat, i peguem les vores coloreados en el diagrama següent, de modo que les fleches coincidixquen. Més formalment, la botella de Klein és el cocient del quadrat [0,1] × [0,1] en les seues vores identificades per la relació (0, i) (1, i) para 0 ≤ i ≤ 1, i (x, 0) (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1:
Este quadrat és el polígon fonamental de la botella de Klein.
Note's que este és un pegat "abstracte" en el sentit de que, en tractar de fer-ho en tres dimensions, resulta una botella de Klein que es autointersecta. La botella de Klein, pròpiament dita, no té autointersecciones. No obstant, hi ha un modo de visualisar la botella de Klein com a figura en quatre dimensions.
Per a això, peguem les fleches roges del quadrat, (costats dret i esquerre) resultant un cilindre. Per a pegar els extrems de manera que les fleches dels círculs coincidixquen, passem un extrem pel costat del cilindre. Note's que açò crea una autointersección circular. Esta és una immersió de la botella de Klein en tres dimensions.
Afegint una quarta dimensió a l'espai tridimensional, conseguim que la botella passe a través de sí mateixa sense necessitat d'un forat. Per a això espentem suaument un tros de tubo que continga l'intersecció fòra de l'espai tridimensional original. Una analogia útil és considerar una curva que es autointerseca en el pla; les interseccions es poden eliminar alçant una llínea fòra del mateix.
Esta immersió és útil per a visualisar moltes propietats de la botella de Klein. Per eixemple, no té vora (a on la superfície es detinga abruptament), i no és orientable, en tindre la seua immersió una sola cara.
Con fibrado
[editar | editar còdic]Esta superfície (simbolisada per ) pot considerar-se com el espai total d'un fibrado (no trivial) sobre el círcul a on la fibra és també un círcul, i.i. . En contrast el bou també és un fibrado, pero és trivial, açò és .
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]Bibliografia
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Botella de Klein» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.