Topología cocient

Archiu:Disk to Sphere using Quotient Space.gif

Ilustració d'un espai cocient, S², obtinguda per pegat del contorn (en blau) del disc D² a un sol punt.

En matemàtiques, la topología cocient consistix intuitivamente en crear una topología pegant certs punts sobre uns atres, en un espai donat, per mig d'una relació d'equivalència ben definida. El nou espai aixina generat rep el nom de espai cocient. Eixemples coneguts són el bou matemàtic o la banda de Möbius.

Definició

Sean $(X,{𝒯}_X)$ un espai topològic i $\sim$ una relació d'equivalència sobre $X$. El conjunt cocient $Y=X/\sim$ és el conjunt de classes d'equivalència dels elements de $X$:

$Y=\{[x]:x\in X\}.$

Els conjunts oberts que conformen l'anomenada topología cocient sobre $Y$ són els conjunts de les classes d'equivalència les unions de la qual són conjunts oberts en $X$:

${𝒯}_{\sim }=\{U\subseteq Y:\bigcup _{[x]\in U}[x]\in {𝒯}_X\}.$

Definició equivalent: siga l'aplicació proyecció $p:X\to X/\sim$ donada per $p(x)=[x]$, es definixen els oberts de ${𝒯}_{\sim }$ com els conjunts $U\subseteq X/\sim$ tals que $p^{-1}(U)\subseteq X$ és obert. És dir, un conjunt de classes d'equivalència és obert si els elements que les formen són un conjunt obert de la topología original.

Propietats

L'aplicació proyecció al cocient $p:X\to X/\sim$ que envia a cada element a la seua classe d'equivalència corresponent és contínuai la topología cocient és la més fina que es pot definir en $X/\sim$ que complix açò. És dir, la topología cocient és la topología final respecte a la proyecció al cocient. Sean $p:X\to X/\sim$ la proyecció al cocient i $f:X/\sim \to Y$ una aplicació. Llavors, l'aplicació $f$ és contínua si, i només si, la composició $f\circ p:X\stackrel{p}{\to }X/\sim \stackrel{f}{\to }Y$ és contínua.

• La propietat universal: La topología cocient és l'única topología que complix que per a qualsevol espai topològic (Z, T) i qualsevol funció g:(I, $T_f$) $\to$ (Z, T) es té que g és contínua si i només si $g\circ f$ és contínua

Bibliografia

• Roures Corbalá Carlos Alberto, "Topología general" primera edició Universitat de Sonora.
• Topología cocient en MathWorld.
• Plantilla:PlanetMath
• Plantilla:Springer