3-esfera

3-esfera

Proyecció estereográfica dels paralels d'una hiperesfera (roig), els meridianos (blau) i els hipermeridianos (vert). Per la propietat conforme de la proyecció estereográfica, totes estes curves es intersecan unes a atres ortogonalment (en els punts grocs) com en 4D. Totes les curves són círculs: les curves que es intersecan en <0,0,0,1> tenen radi infinit (= llínees rectes).

Proyecció estereográfica dels paralels d'una hiperesfera (roig), els meridianos (blau) i els hipermeridianos (vert). Per la propietat conforme de la proyecció estereográfica, totes estes curves es intersecan unes a atres ortogonalment (en els punts grocs) com en 4D. Totes les curves són círculs: les curves que es intersecan en <0,0,0,1> tenen radi infinit (= llínees rectes).

En topología, una 3-esfera o hiperesfera (també cridada glomo) és anàloga a una esfera en un espai de major número de dimensions. Una esfera ordinària, o 2-esfera, consistix de tots els punts equidistants d'un punt donat en l'espai euclídeo tridimensional ordinari, R³. Una 3-esfera consistix de tots els punts equidistants d'un punt donat en R⁴. Mentres que una 2-esfera és una superfície "suau" de dos dimensions, una 3-esfera és un eixemple d'una 3-varietat.

De forma enterament anàloga, és possible definir esferes d'un número de dimensions major, critats hiperesferas o n-esferes. Dits objectes són varietats n-dimensionals.

Alguna lliteratura es referix a la 3-esfera com glomo, del llatí glomus, baló. Informalment, un glomo és a una esfera lo que esta és a un círcul.

En geometria, 3-esfera és la superfície d'una esfera, mentres que en topología es referixen a ella com una 2-esfera i l'indiquen com $S^2$. Llamativament, geómetras i topólogos adopten convenis incompatibles per al significat de "n-esfera".

Definició

En coordenades, una 3-esfera en centre (x₀, i₀, z₀, w₀) i ràdio r és el conjunt de tots els punts (x, i, z, w) en R⁴ tals que

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2+(w-w_0{)}^2=r^2$

La 3-esfera centrada en l'orige i en radi 1 es diu 3-esfera unitària o 3-esfera unitat, i habitualment es denota S³. Pot ser descrita com un subconjunt de R⁴, de C², o de H (els cuaterniones):

$S^3=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {ℝ}^4\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1\}$

$S^3=\{(z_1,z_2)\in {ℂ}^2\mid |z_1{|}^2+|z_2{|}^2=1\}$

$S^3=\{q\in ℍ\mid |q|=1\}$

L'última descripció és habitualment la més útil. Descriu la 3-esfera com el conjunt de tots els cuaterniones unitat, és dir, els cuaterniones en valor absolut igual a 1. Aixina com el conjunt de tots els número complejo unitat és important en geometria complexa, el conjunt de tots els cuaterniones unitat és important per a la geometria dels cuaterniones.

Propietats

El volum tridimensional (o hiperárea) d'una 3-esfera de ràdio r és

$2{\pi }^2{r}^3$

mentres que el hipervolumen tetradimensional (el volum de la regió de 4 dimensions delimitada per la 3-esfera) és

$\frac{1}{2}{\pi }^2{r}^4$

Cada intersecció no buida d'una 3-esfera en un hiperplano tridimensional és una 2-esfera, a menos que el hiperplano siga tangent a la 3-esfera, en el cas de la qual l'intersecció és un únic punt. Quan la 3-esfera es mou a través d'un hiperplano tridimensional dau, l'intersecció comença com un punt, després es convertix en una 2-esfera creixent que alcança el seu tamany màxim quan el hiperplano talla directament a través de el "mig" de la 3-esfera, i finalment la 2-esfera es "encull" novament fins a ser un sol punt a mida que la 3-esfera abandona el hiperplano.

Propietats topològiques

Una 3-esfera és una varietat compacta sense delimitació. També és simplement conexa. Lo que açò significa, informalment, és que qualsevol camí circular, o qualsevol rull, en la 3-esfera pot encollir-se contínuament a un punt sense abandonar la 3-esfera. Existix una conjectura, cridada conjectura de Poincaré, que sosté que la 3-esfera és l'única varietat tridimensional en estes propietats (llevat homeomorfisme). Esta conjectura ha segut provada per Grigori Perelmán en una série de treballs produïts a partir de novembre de 2002.

La 3-esfera és també homeomórfica en la compactación en un punt R³.

Els grups d'homologia no trivials de la 3-esfera són els següents: H₀(S³,Z) i H₃(S³,Z) són abdós cíclics infinits, mentres que H_i(S³,Z) = {0} per a tot un atre índex i. Qualsevol espai topològic en estos grups d'homologia és conegut com una 3-esfera homológica. Inicialment Poincaré conjeturó que totes les 3-esferes d'homologia eren homomórficas a S³, pero després va conseguir construir una no homomórfica, ara coneguda com l'esfera de Poincaré. Es coneix l'existència d'un número infinit d'esferes d'homologia. Per eixemple, un omplit de Dehn en pendent 1/n sobre qualsevol nuc en la 3-esfera dona una esfera d'homologia; típicament, estes no són homomorfas de la 3-esfera.

Respecte dels grups de homotopía, tenim π₁(S³) = π₂(S³) = {0} i π₃(S³) és cíclic infinit. Els grups de homotopia més grans (k ≥ 4) són tots abelianos finits, pero ademés d'això no seguixen cap patró discernible. Per a major detall, vore grups de homotopia de les esferes.

Grups de homotopia de S³

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
πk(S3)	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z2⊕Z2	Z12⊕Z2	Z84⊕Z2⊕Z2	Z2⊕Z2	Z6

Hi ha una interessant acció de grup de S¹ (imaginat com el grup dels número complejo de valor absolut 1) sobre S³ (imaginada com un subconjunt de C²): λ·(z₁,z₂) = (λz₁,λz₂). l'espai orbital d'esta acció és naturalment homomorfo en la 2-esfera S². El mapa resultant de la 3-esfera en la 2-esfera és conegut com fes de Hopf. És el generador del grup de homotopia π₃(S²).

Estructura de grup

Quan li la considera com el conjunt dels cuaterniones unitat, S³ hereta l'estructura de la multiplicació cuaterniónica. Ya que el conjunt dels cuaterniones unitat és tancat baix la multiplicació S³ té l'estructura d'un grup. Ademés, com la multiplicació cuaterniónica és regular (infinitament diferenciable), S³ pot ser vist com un grup de Lie. És un grup de Lie que no és abeliano, compacte, de dimensió 3. Quan li l'imagina com un grup de Lie li'l sol denotar Sp(1) o O(1, H).

Resulta ser que les úniques esferes que admeten l'estructura d'un grup de Lie són el círcul unitat, S¹, imaginat com el conjunt dels número complejo unitat, i S³, el conjunt dels cuaterniones unitat. Es podria pensar que S⁷, el conjunt dels octoniones unitat, formaria un grup de Lie, pero açò no és aixina perque la multiplicació de octoniones no és associativa. L'estructura octoniónica dona a S⁷ una important propietat: la paralelizabilidad. Les úniques esferes paralelisables són S¹, S³ i S⁷.

Usant una representació matricial dels cuaterniones, H, s'obté una representació matricial de S³. Una elecció convenient és

$x_1+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto \left(\begin{array}{cc}{x}_1+i{x}_2& x_3+i{x}_4\\ -x_3+i{x}_4& x_1-i{x}_2\end{array}\right)$

Este mapa dona un homomorfisme algebraic inyectiu de H en el conjunt de matrius complexes 2×2. Té la propietat de que el valor absolut d'un cuaternión q és igual a la raïl quadrada del determinant de la matriu image de q.

El conjunt dels cuaterniones unitat està per lo tant donat per matrius de la forma dalt indicada en determinant unitat. Resulta que este grup és precisament el grup especial unitari SU(2). Per lo tant S³ com a grup de Lie és isomorfo a SU(2).

Usant les nostres coordenades hiperesféricas (η, ξ₁, ξ₂) podem escriure qualsevol element de SU(2) com

$\left(\begin{array}{cc}{e}^{i{\xi }_1}\mathrm{sen}\eta & e^{i{\xi }_2}\cos \eta \\ -e^{-i{\xi }_2}\cos \eta & e^{-i{\xi }_1}\mathrm{sen}\eta \end{array}\right)$

Vore també

• Anex:Equacions de figures geomètriques
• Hiperesfera
• Teseracto, polícoro, símplex
• Matrius de Pauli
• Grup de rotació SO(3)
  • cartes en SO(3)
  • cuaterniones i rotació espacial
• Fes de Hopf, esfera de Riemann
• Esfera de Poincaré
• Foliación de Reeb
• Bou de Clifford
• Teorema de Poincaré