Espai cocient

Espai cocient és un terme matemàtic que fa referència a certa estructura matemàtica que es deriva d'una atra en la que s'ha definit una relació d'equivalència.

De manera més precisa, si X és una estructura matemàtica en el que es definix una relació d'equivalència ', llavors l'espai cocient X/ és l'estructura matemàtica induïda en el conjunt de classes d'equivalència en les operacions entre classes d'equivalència obtingudes de manera canònica a partir de les corresponents en X. A l'aplicació sobreyectiva induïda que du cada element en el seu classe d'equivalència li la crida proyecció canònica:

$\pi :X\to X/\sim$

$\pi (x)=[x].$

Un cas molt comú es referix al cas en que I siga una subestructura de X (per eixemple, subespacio vectorial, subgrup, subespacio topològic, etc.) en el cas del qual l'espai cocient de la relació d'equivalència associada se sol denotar com a X/I.

Eixemples notables

Conjunt cocient

Artícul principal → Relació d'equivalència.

Si A és un conjunt i ' una relació d'equivalència, llavors les classes d'equivalència formen una partició del conjunt A.

Les classes d'equivalència de la relació integren entre sí un nou conjunt, denominat conjunt cocient i denotat A/.

Eixemple

Considerem el conjunt A de persones en una oficina. La relació

$X\sim Y$ quan $X$ té el mateix primer llinage que $Y$

és una relació d'equivalència en A i induïx una partició de les persones de l'oficina en grups separats depenent del seu primer llinage.

Llavors el conjunt de primers llinages de persones de l'oficina és el conjunt cocient de les persones de l'oficina entre la relació d'equivalència.

Si, per eixemple, en l'oficina es troben les persones

{Juan Pérez, Luis García, Carlos Pérez, Manuel González, Luis Martínez, Arturo García}

llavors les classes d'equivalència són

• [Pérez] = {Juan Pérez, Carlos Pérez}
• [García] = {Luis García, Arturo García}
• [González] = {Manuel González}
• [Martínez] = {Luis Martínez}

I el conjunt cocient de dita relació d'equivalència és

$A/\sim =\{[\text{Pérez}],[\text{García}],[\text{Martínez}],[\text{González}]\}$

Eixemple.

Si en el conjunt dels número entero $\mathbb{Z}$ es definix la relació $a\sim b$ quan $a-b$ siga un múltiple de 5, llavors les classes d'equivalència són:

• $[0]=\{\dots ,-15,-10,-5,0,5,10,15,\dots \}$.
• $[1]=\{\dots ,-14,-9,-4,1,6,11,16,\dots \}$
• $[2]=\{\dots ,-13,-8,-3,2,7,12,17,\dots \}$
• $[3]=\{\dots ,-12,-7,-2,3,8,13,18,\dots \}$
• $[4]=\{\dots ,-11,-6,-1,4,9,14,19,\dots \}$

i per tant el conjunt cocient té cinc elements:

• $A/\sim =\{[0],[1],[2],[3],[4]\}$.

Eixemple.

Partint de que el parell ordenat $(a,b)$ és element de $\mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}^{*}$ en $b\ne 0$. Es definix $(a,b)\sim (c,d)$ si i solament si $ad=bc$. Esta relació és d'equivalència en $\mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}^{*}$. Per eixemple, $\{(x,y)\sim (2,5)=(2,5),(4,10),(6,15),(8,20),(10,25),\mathrm{...}\}:=[2,5]$, que és el seu element canònic.

El conjunt cocient $\frac{\mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}^{*}}{\sim }$ és el conjunt $\mathbb{Q}$ dels número racional.

Grup cocient

Artícul principal → grup cocient.

Si G és un grup i H és un subgrup de G, llavors la relació $a{b}^{-1}\in H$ és una relació d'equivalència les classes de la qual de equivalència són les classes laterals (esquerres) del subgrup H.

En este cas, el conjunt cocient es denota G/H i és possible induir una estructura de grup en G/H de manera canònica a partir de l'operació en G:

• Si ah i bH són dos classes d'equivalència, es definix el producte (ah)(bH) com l'operació el resultat de la qual és la classe lateral (ab)H.

En esta operació, G/H adquirix estructura de grup, el qual es denomina grup cocient.

Construccions similars es poden realisar per a anells, mòduls i unes atres estructures algebraiques.

Espai vectorial cocient

Artícul principal → Espai cocient (àlgebra llineal).

En àlgebra llineal, l'espai vectorial cocient I/F d'un espai vectorial I per un subespacio vectorial F, és l'estructura natural d'espai vectorial sobre el conjunt cocient de I per la relació d'equivalència: v està relacionat en w si i solament si v-w pertany a F.

Espai topològic cocient

Artícul principal → Topología cocient.

Si X és un espai topològic i $p:X\to Y$ és una funció suprayectiva, llavors és possible induir una topología T en I a partir de la topología de X:

• A és un conjunt obert en la topología de I si $p^{-1}(A)$ és un conjunt obert de X.

La topología de I es denomina topología cocient induïda per p.

Ara, considere's una partició $\overline{X}$ de $X$ en classes disjuntas (és dir, considere's una relació d'equivalència). La funció $p:X\to \overline{X}$ que assigna cada punt de $X$ a la classe d'equivalència que ho conté és una funció suprayectiva.

L'espai $\overline{X}$ en la topología cocient induïda per p es denomina espai cocient de X (induït per la relació d'equivalència).

Informalment, esta construcció correspon a l'identificació de tots els punts de la classe d'equivalència en un mateix punt, per lo que a l'espai cocient també se li coneix com a espai d'identificació o espai de descomposició de X.

Vore també

• Cocient Plantilla:Ico-dones