Matriu (matemàtica)

En matemàtica, una matriu és un conjunt bidimensional de números. Ya que pot definir-se tant la suma com el producte de matrius, en major generalitat es diu que són elements d'un anell. Una matriu es representa per mig d'una lletra mayúscula i els seus elements en la mateixa lletra en minúscula en un doble subíndex a on el primer indica la fila i el segon la columna a la que pertany.

Els elements individuals d'una matriu $m$ x $n$ , es denoten a sovint per $a_{i j}$ , a on el màxim valor de $i$ és $m$ , i el màxim valor de $j$ és $n$ . Sempre que la matriu tinga el mateix número de files i de columnes que una atra matriu, estes es poden sumar o restar element per element.

Poden sumar-se, multiplicar-se i descompondre's de vàries formes, lo que també les fa un concepte clau en el camp del àlgebra llineal.

Història

**Cronologia**
Any	Acontenyiment
200 a. C.	En China els matemàtics usen séries de números.
1848	J. J. Sylvester introduïx el terme «matriu».
1858	Cayley publica Memòries sobre la teoria de matrius.
1878	Frobenius demostra resultats fonamentals en àlgebra matricial.
1925	Heisenberg utilisa la teoria matricial en la mecànica quàntica

L'orige de les matrius és molt antic. Els quadrats llatins i els quadrats màgics es varen estudiar des de fa molt temps. Un quadrat màgic, 3 per 3, es registra en la lliteratura chinenca cap al 650 a. C.^[1]

És llarga l'història de l'us de les matrius per a resoldre equacions llineals. Un important text matemàtic chinenc que prové de l'any 300 a. C. a 200 a. C., Nou capítuls sobre l'Art de les matemàtiques (Jiu Zhang Suan Shu), és el primer eixemple conegut d'us del método de matrius per a resoldre un sistema d'equacions simultànees.^[2] En el capítul sèptim, "Ni molt ni poc", el concepte de determinant va aparéixer per primera volta, dos mil anys abans de la seua publicació pel matemàtic japonés Seki Kōwa en 1683 i el matemàtic alemà Gottfried Leibniz en 1693.

Els «quadrats màgics» eren coneguts pels matemàtics àraps, possiblement des de començos de el VII, els qui a la seua volta varen poder prendre'ls dels matemàtics i astrònoms de l'Índia, junt en atres aspectes de la matemàtica combinatòria. Tot açò sugerix que l'idea va provindre de China. Els primers «quadrats màgics» d'orde 5 i 6 varen aparéixer en Bagdad en l'any 983, en la Enciclopèdia de la Germandat de Purea (Rasa'il Ihkwan al-Safa).^[1]

Despuix del desenroll de la teoria de determinants per Seki Kowa i Leibniz per a facilitar la resolució d'equacions llineals, a finals de el XVII, Gabriel Cramer va presentar en 1750 l'ara denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss i Wilhelm Jordan varen desenrollar l'eliminació de Gauss-Jordan en el XIX

Va ser James Joseph Sylvester qui va utilisar per primera volta el terme «matriu» en 1848/1850.

En 1853, William Rowan Hamilton va fer alguns aportes a la teoria de matrius. Cayley va introduir en 1858 la notació matricial, com a forma abreviada d'escriure un sistema de m equacions llineals en n incògnites.

Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinand Georg Frobenius, Olga Taussky-Todd i John von Neumann conten entre els matemàtics famosos que varen treballar sobre la teoria de les matrius. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el càlcul matricial fundant una primera formulació de lo que anava a passar a ser la mecànica quàntica. Se li considera a este respecto com un dels pares de la mecànica quàntica.

Olga Taussky-Todd (1906-1995), durant l'II Guerra Mundial, va usar la teoria de matrius per a investigar el fenomen d'inestabilitat aeroelastica cridat flameo.

Definició

Una matriu és un conjunt bidimensional de números (elements de la matriu) ordenats en files i columnes. A una matriu en $m$ files i $n$ columnes se li denomina «matriu $m$ per $n$ » (escrit $m \times n$ ) a on $m, n \in ℕ$ . El conjunt de les matrius de tamany $m \times n$ es representa com $ℳ_{m \times n} (𝕂)$ , a on $𝕂$ és el cos al com pertanyen els elements de la matriu.

Es diu que dos matrius són iguals si tenen el mateix tamany (dimensió o orde) i els mateixos elements en les mateixes posicions. L'element d'una matriu que es troba en la fila $i -$ ésima i la columna $j -$ ésima se li crida element $i, j$ o element $(i, j)$ -ésimo de la matriu.

Dos matrius $A, B \in ℳ_{m \times n} (𝕂)$ són iguals si els elements corresponents són iguals:

$a_{i j} = b_{i j}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$ .

Per a definir el concepte de matriu, el terme "conjunt bidimensional" és útil, encara que poc formal, pero pot formalisar-se usant el concepte de funció. D'esta manera, una matriu de $m$ files i $n$ columnes en entrades en un cos $𝕂$ és una funció el domini de la qual és el conjunt dels parells ordenats $(i, j)$ , a on $1 \leq i \leq m$ i $1 \leq j \leq n$ , i que el seu codominio és $𝕂$ . En esta definició, l'entrada $i, j$ és el valor de la funció en el parell ordenat $(i, j)$ .

Es denota a les matrius en lletra mayúscula, mentres que s'utilisa la corresponent lletra en minúscules per a denotar a les entrades de les mateixes, en subíndexs que referixen al número de fila i columna de l'element. Per eixemple, a l'element d'una matriu $A$ de tamany $m \times n$ que es troba en la fila $i -$ ésima i la columna $j -$ ésima se li denota com $a_{i j}$ , a on $1 \leq i \leq m$ i $1 \leq j \leq n$ .

Quan es va a representar explícitament una entrada la qual està indexada en un $i$ o un $j$ en dos sifres s'introduïx una menge entre l'índex de files i de columnes. Aixina per eixemple, l'entrada que està en la primera fila i la segona columna de la matriu $A$ de tamany $50 \times 100$ es representa com $a_{12}$ mentres que l'entrada que està en la fila número 23 i la columna 100 es representa com $a_{23, 100}$ .

Ademés d'utilisar lletres mayúscules per a representar matrius, numerosos autors representen a les matrius en fonts en negreta per a distinguir-les d'atres objectes matemàtics.^{cita requerida} Aixina $𝐀$ és una matriu, mentres que $A$ és un escalar en eixa notació. No obstant esta notació generalment es deixa per a llibres i publicacions, a on és possible fer esta distinció tipogràfica en facilitat. En atres notacions es considera que el context és lo suficientment clar com para no usar negreta.

Una atra notació, en sí un abús de notació, representa a la matriu per les seues entrades, i.i. $A : = (a_{i j})$ o inclús $A : = a_{i j}$ .

Com a cas particular de matriu, es definixen els vectores fila i els vectores columna. Un vector fila o vector rengló és qualsevol matriu de tamany $1 \times n$ mentres que un vector columna és qualsevol matriu de tamany $m \times 1$ .

A les matrius que tenen el mateix número de files que de columnes, se'ls crida matrius quadrades i el conjunt es denota $ℳ_{n} (ℝ)$

Eixemple

Donada la matriu $A \in ℳ_{4 \times 3} (𝕂)$

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \end{matrix}]

és una matriu de tamany $4 \times 3$ . L'entrada $a_{23}$ és 7.

La matriu $R \in ℳ_{1 \times 9} (𝕂)$

R = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{matrix}]

és una matriu de tamany $1 \times 9$ : un vector fila en 9 entrades.

Vore també

Referències

Beezer, Rob, Un primer curs en àlgebra llineal, llicencia baix GFDL. (En anglés)
Jim Hefferon: Àlgebra llineal (Llibres de text en llínea) (En anglés)

Notes

↑ ^1,0 ^1,1 Swaney, Mark. History of Magic Squares.
↑ Shen Kangshen et al. (ed.) (1999). Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary, Oxford University Press. cited byOtto Bretscher (2005). Linear Algebra with Applications, 3rd ed. edició, Prentice-Hall, pp. 1.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Matriz (matemática)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Swaney-1] 1,0 ^1,1 Swaney, Mark. History of Magic Squares.

[2] Shen Kangshen et al. (ed.) (1999). Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary, Oxford University Press. cited byOtto Bretscher (2005). Linear Algebra with Applications, 3rd ed. edició, Prentice-Hall, pp. 1.

[1]

[2]