Regla de Cramer

La regla de Cramer és un teorema del àlgebra llineal que dona la solució d'un sistema llineal d'equacions en térmens de determinants. Rep este nom en honor a Gabriel Cramer (1704-1752), qui publica la regla en la seua Introduction à l'analyse dones lignes courbes algébriques de 1750, encara que Colin Maclaurin també va publicar el método en el seu Treatise of Geometry de 1748 (i provablement sabia del método des de 1729). Entre els pocs eixemplars supervivents del llibre de Cramer està el consultable en la Biblioteca del Campus d'Alcoy de l'Universitat Politècnica de Valéncia.

La regla de Cramer és d'importància teòrica perque dona una expressió explícita per a la solució del sistema. No obstant, per a sistemes d'equacions llineals de més de tres equacions la seua aplicació per a la resolució del mateix resulta excessivament costosa: computacionalment, és ineficiente per a grans matrius i per això no és usat en aplicacions pràctiques que poden implicar moltes equacions. No obstant, com no és necessari pivotar matrius, és més eficient que l'eliminació gaussiana per a matrius menudes, particularment quan són usades operacions SIMD.

Si $𝐀𝐱=𝐛$ és un sistema d'equacions, $𝐀$ és la matriu de coeficients del sistema, $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$ és el vector columna de les incògnites, i $𝐛$ és el vector columna dels térmens independents, llavors la solució al sistema es presenta aixina:

$x_j=\frac{\det ({𝐀}_j)}{\det (𝐀)}$

A on ${𝐀}_j$ és la matriu resultant de reemplaçar la j-ésima columna de $𝐀$ pel vector columna $𝐛$. Faça's notar que per a que el sistema siga compatible determinat, el determinant de la matriu $𝐀$ ha de ser no nul.

Sistema de 2x2

Siga el següent sistema de dos equacions llineals en dos incògnites:

$\{\begin{array}{c}ax+by=e\\ cx+dy=f\end{array}$

La seua representació matricial és

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right]$

Si el sistema és compatible determinat, la solució ve donada, per la regla de Cramer, pels següents cocients de determinants:

$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}e& b\\ f& d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{\left|\begin{array}{cc}a& e\\ c& f\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{af-ec}{ad-bc}$

Eixemple

Eixemple de la resolució d'un sistema de dimensió 2x2:

Donat el sistema

$\{\begin{array}{c}3x+y=9\\ 2x+3y=13\end{array}$

La seua forma matricial és

$\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}9\\ 13\end{array}\right]$

Com el sistema és compatible determinat, per la regla de Cramer,

$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}9& 1\\ 13& 3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 3\end{array}\right|}=\frac{9\cdot 3-1\cdot 13}{3\cdot 3-1\cdot 2}=2$

$y=\frac{\left|\begin{array}{cc}3& 9\\ 2& 13\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 3\end{array}\right|}=\frac{3\cdot 13-9\cdot 2}{3\cdot 3-1\cdot 2}=3$

Sistema de 3x3

La regla per a un sistema de 3x3, en una divisió de determinants:

$\{\begin{array}{c}ax+by+cz=j\\ dx+ey+fz=k\\ gx+hy+iz=l\end{array}$

Que representades en forma de matriu és:

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}j\\ k\\ l\end{array}\right]$

$x$, $y$, $z$ poden ser trobades com seguix:

$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}j& b& c\\ k& e& f\\ l& h& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|},y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& j& c\\ d& k& f\\ g& l& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|},z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& b& j\\ d& e& k\\ g& h& l\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}$

Eixemple

Donat el sistema d'equacions llineals:

$\{\begin{array}{cc}3x+2y+1z=& 1\\ 2x+0y+1z=& 2\\ -1x+1y+2z=& 4\end{array}$

Expressat en forma matricial: $\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 2& 0& 1\\ -1& 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right]$

Els valors de $x$, $y$ i $z$ serien:

$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 0& 1\\ 4& 1& 2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 2& 0& 1\\ -1& 1& 2\end{array}\right|}=\frac{1\cdot 0\cdot 2+2\cdot 1\cdot 1+4\cdot 2\cdot 1-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cdot 1-2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 0\cdot 2+2\cdot 1\cdot 1+(-1)\cdot 2\cdot 1-1\cdot 0\cdot (-1)-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 2\cdot 2}=-\frac{1}{11};$

$y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 2& 2& 1\\ -1& 4& 2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 2& 0& 1\\ -1& 1& 2\end{array}\right|}=\frac{3\cdot 2\cdot 2+2\cdot 4\cdot 1+(-1)\cdot 1\cdot 1-1\cdot 2\cdot (-1)-1\cdot 4\cdot 3-2\cdot 1\cdot 2}{3\cdot 0\cdot 2+2\cdot 1\cdot 1+(-1)\cdot 2\cdot 1-1\cdot 0\cdot (-1)-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 2\cdot 2}=-\frac{5}{11};$

$z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 2& 0& 2\\ -1& 1& 4\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 2& 0& 1\\ -1& 1& 2\end{array}\right|}=\frac{3\cdot 0\cdot 4+2\cdot 1\cdot 1+(-1)\cdot 2\cdot 2-1\cdot 0\cdot (-1)-2\cdot 1\cdot 3-4\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 0\cdot 2+2\cdot 1\cdot 1+(-1)\cdot 2\cdot 1-1\cdot 0\cdot (-1)-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 2\cdot 2}=\frac{24}{11}$

Vore també

• Determinant
• Matriu