Càlcul matricial

En matemàtiques, el càlcul matricial és una notació especialisada per a realisar càlcul multivariable, especialment sobre espais de matrius. Arreplega les distintes derivades parcials d'una única funció sobre moltes variables, i/o d'una funció multivariable sobre una única variable, en vectores i matrius que poden tractar-se com a entitats úniques. Açò simplifica enormement operacions com la busca del màxim o el mínim d'una funció multivariante i la resolució de sistemes d'equacions diferencials. La notació amprada ací s'utilisa habitualment en estadística i ingenieria, mentres que la notació d'índex tensorial és la preferida en física.

Dos convencions de notació opostes dividixen el camp del càlcul matricial en dos grups distints. Els dos grups poden distinguir-se per si escriuen la derivada d'un escalar sobre un vector com un vector columna o com un vector fila. Abdós convencions són possibles inclús quan es fa la suposició comuna de que els vectores deuen tractar-se com vectores columna quan es combinen en matrius (en lloc de vectores fila). Una única convenció pot ser alguna cosa estàndar en un únic camp que utilise habitualment el càlcul matricial (per eixemple, l'econometria, l'estadística, la teoria de l'estimació i l'aprenentage automàtic). No obstant, inclús dins d'un mateix camp, pot haver autors que utilisen convencions opostes. Els autors d'abdós grups solen escriure com si les seues convencions específiques foren estàndar. La combinació de resultats de distints autors sense comprovar cuidadosadament que s'han utilisat notacions compatibles pot donar lloc a greus errors. Les definicions d'estes dos convencions i les comparacions entre elles s'arrepleguen en la secció de convencions de maquetació.

Àmbit

El càlcul matricial es referix a una série de notacions diferents que utilisen matrius i vectores per a arreplegar la derivada de cada component de la variable depenent sobre cada component de la variable independent. En general, la variable independent pot ser un escalar, un vector o una matriu, mentres que la variable depenent també pot ser qualsevol d'ells. Cada situació diferent donarà lloc a un conjunt diferent de regles, o a un càlcul distint, utilisant el sentit més ampli del terme. La notació matricial és una forma cómoda d'arreplegar les numeroses derivades de forma organisada.

Com a primer eixemple, considerem el gradient del càlcul vectorial. Per a una funció escalar de tres variables independents, $f(x_1,x_2,x_3)$, la gradient és donada per l'equació vectorial

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial x_1}{\hat{x}}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}{\hat{x}}_2+\frac{\partial f}{\partial x_3}{\hat{x}}_3$

a on ${\hat{x}}_i$ representa un vector unitari en la $x_i$ direcció per a $1\le i\le 3$. Este tipo de derivada generalisada pot vore's com la derivada d'un escalar, f, respecte a un vector $𝐱$, i el seu resultat pot arreplegar-se fàcilment en forma vectorial.

$\mathrm{\nabla }f={\left(\frac{\partial f}{\partial 𝐱}\right)}^{𝖳}={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f}{\partial x_1}& \frac{\partial f}{\partial x_2}& \frac{\partial f}{\partial x_3}\end{array}\right]}^{\mathsf{\text{𝖳}}}.$

Eixemples més complicats inclouen la derivada d'una funció escalar sobre una matriu, coneguda com a matriu gradient, que arreplega la derivada sobre cada element de la matriu en la posició corresponent de la matriu resultant. En eixe cas, l'escalar deu ser funció de cada una de les variables independents de la matriu. Com un atre eixemple, si tenim un n-vector de variables depenents, o funcions, de m variables independents podríem considerar la derivada del vector depenent sobre el vector independent. El resultat podria arreplegar-se en una matriu m×n formada per totes les combinacions de derivades possibles.

Hi ha un total de nou possibilitats utilisant escalares, vectores i matrius. Observe que a mida que considerem números més alts de components en cada una de les variables independents i dependents podem quedar-nos en un número molt gran de possibilitats. Els sis tipos de derivades que poden organisar-se millor en forma matricial s'arrepleguen en la següent taula.

Tipos de derivades matriciales

Tipos	Escalar	Vector	Matriu
Escalar	$\frac{\partial y}{\partial x}$	$\frac{\partial 𝐲}{\partial x}$	$\frac{\partial 𝐘}{\partial x}$
Vector	$\frac{\partial y}{\partial 𝐱}$	Plantilla:Cela
Matriu	Plantilla:Cela	Plantilla:Cela

Ací hem utilisat el terme "matriu" en el seu sentit més general, reconeixent que els vectores i els escalares són simplement matrius en una columna i una fila, respectivament. Ademés, hem utilisat lletres negreta per a indicar vectores i mayúscules per a matrius. Esta notació s'utilisa en tot el text.

Observe que també podríem parlar de la derivada d'un vector respecte a una matriu, o de qualsevol de les atres celes sense reblir de la nostra taula. No obstant, estes derivades s'organisen de forma més natural en un tensor de ranc superior a 2, per lo que no encaixen perfectament en una matriu. En les tres seccions següents definirem cada una d'estes derivades i les relacionarem en atres branques de les matemàtiques. Consulte la secció de convencions de disposició per a vore una taula més detallada.

Relació en atres derivades

La derivada matricial és una notació convenient per a dur el conte de les derivades parcials per a fer càlculs. La derivada de Fréchet és la forma estàndar en l'entorn del anàlisis funcional per a prendre derivades sobre vectores. En el cas de que una funció matricial d'una matriu siga diferenciable en Fréchet, les dos derivades coincidiran fins a la translació de notacions. Com ocorre en general en les derivades parcials, algunes fòrmules poden estendre's baix condicions analítiques més dèbils que l'existència de la derivada com a cartografia llineal aproximante.

Usos

El càlcul matricial s'utilisa per a derivar estimadors estocàstics òptims, que a sovint impliquen l'us de multiplicadors de Lagrange. Açò inclou la derivació de:

• Filtre de Kalman
• Filtre de Wiener
• Algoritme d'maximización d'esperança per a mescles gaussianas
• Descens gradient

Notació

Les derivades vectorials i matriciales presentades en les seccions següents aprofiten al màxim la notació matricial, utilisant una única variable per a representar un gran número de variables. En lo que seguix distinguirem escalares, vectores i matrius pel seu tipo de lletra. M(n,m) és l'espai de matrius reals n×m en n files i m columnes. Dites matrius es denotaran utilisant lletres mayúscules en negreta: A, X, I, etc. Un element de M(n,1), és dir, un vector columna, es denota en una lletra minúscula en negreta: a, x, i, etc. Un element de M(1,1) és un escalar, denotat en lletra minúscula cursiva: a, t, x, etc. X^T és la transposició de la matriu, tr(X) és la traça i det(X) o |X| és el determinant. Se supon que totes les funcions són de classe de diferenciabilidad C¹, a menos que s'indique lo contrari. Generalment s'utilisaran lletres de la primera mitat de l'alfabet (a, b, c, ...) per a denotar constants, i de la segona mitat (t, x, i, ...) per a denotar variables.

NOTA: Com s'ha mencionat anteriorment, existixen notacions que competixen entre sí per a presentar sistemes de derivades parcials en vectores i matrius, i no sembla que estiga sorgint encara cap estàndart. Les dos seccions introductòries següents utilisen la convenció de disposició del numerador simplement per conveniència, per a evitar complicar massa la discussió. En la secció següent es tracten les convencions de disposició en més detall. És important tindre en conte lo següent:

1. A pesar de l'us dels térmens "disposició del numerador" i "disposició del denominador", en realitat hi ha més de dos opcions notacionales possibles. La raó és que l'elecció de numerador front a denominador (o, en algunes situacions, numerador front a mixt) pot fer-se independentment per a les derivades escalar per vector, vector per escalar, vector per vector i escalar per matriu, i varis autors mesclen i combinen les seues eleccions de disposició de diverses maneres.
2. L'elecció de la disposició del numerador en les seccions introductòries no implica que esta siga l'opció "correcta" o "superior". Els distints tipos de disposició tenen ventages i inconvenients. La combinació descuidada de fòrmules escrites en diferents disposicions pot donar lloc a errors greus, i la conversió d'una disposició a una atra requerix conte per a evitar errors. Per això, quan es treballa en fòrmules existents, lo millor és identificar el disseny utilisat i mantindre la coherència en ell, en lloc d'intentar utilisar el mateix disseny en totes les situacions.

Alternatives

La notació d'índex tensorial en el seu conveni de suma d'Einstein és molt similar al càlcul matricial, llevat en que només s'escriu un component cada volta. Té la ventaja de que es poden manipular fàcilment tensors de ranc arbitrariamente alt, mentres que els tensors de ranc superior a dos són prou difícils de manejar en la notació matricial. Tot el treball ací pot fer-se en esta notació sense usar la notació matricial d'una sola variable. No obstant, molts problemes en la teoria de l'estimació i atres àrees de la matemàtica aplicada donarien lloc a massa índexs com per a poder seguir-los adequadament, lo que apunta a favor del càlcul matricial en eixes àrees. Ademés, la notació d'Einstein pot ser molt útil per a demostrar les identitats presentades ací (vore la secció sobre diferenciació) com a alternativa a la notació típica d'elements, que pot resultar engorrosa quan es duen les sumes explícites. Note's que una matriu pot considerar-se un tensor de ranc dos.

Vore també

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtiques|20px|Vore el portal sobre Matemàtiques]] Portal:Matemàtiques. Contingut relacionat en Matemàtiques.

• Integral multiplicativa

Bibliografia

• Fang, Kai-Tai; Zhang, Yao-Ting (1990). Generalized multivariate analysis (en en), Science Press (Beijing) and Springer-Verlag (Berlin). ISBN 3540176519.
• Kollo; von Rosen, Dietrich (2005). Advanced multivariate statistics with matrius (en en), Dordrecht: Springer. ISBN 978-1-4020-3418-3.
• Pa; Fang, Kaitai (2007). Growth curve models and statistical diagnostics, Beijing: Science Press, p. en. ISBN 9780387950532.
• Magnus, Jan; Neudecker, Heinz (2019). Matrix differential calculus with applications in statistics and econometrics (en en), New York: John Wiley. ISBN 9781119541202.
• Liu; Leiva, Victor; Zhuang, {{{nom3}}}; Ma, {{{nom4}}} (2022). Matrix differential calculus with applications in the multivariate linear model and its diagnostics (en en), Journal of Multivariate Analysis, pp. 104849. doi:10.1016/j.jmva.2021.104849.