Càlcul multivariable

El càlcul multivariable és l'extensió de càlcul infinitesimal en una variable al càlcul en funcions de vàries variables: la diferenciació i l'integració de funcions que involucren múltiples variables, en lloc de solament una.

Introducció

En el càlcul monovariable, operacions com la diferenciació i l'integració es realisen en funcions d'una sola variable. En el càlcul multivariante, és necessari generalisar-les a múltiples variables, i el domini és, per tant, multidimensional. Per lo tant, és necessari anar en conte en estes generalisacions, per dos diferències clau entre 1D i espais de major dimensió:

1. Hi ha infinites maneres d'acostar-se a un sol punt en dimensions superiors, a diferència de dos (des de la direcció positiva i negativa) en 1D;
2. Hi ha múltiples objectes estesos associats a la dimensió; per eixemple, per a una funció 1D, deu representar-se com una curva en el pla cartesiano 2D, pero una funció en dos variables és una superfície en 3D, mentres que les curves també poden viure en l'espai 3D.

La conseqüència de la primera diferència és la diferència en la definició del llímit i la diferenciació. Les directives llímits i derivadas definixen el llímit i la diferencial a lo llarc d'una curva parametrizada 1D, reduint el problema al cas 1D. A partir d'estos operadors poden construir-se atres objectes de dimensió superior.

La conseqüència de la segona diferència és l'existència de múltiples tipos d'integració, incloent integrals de llínea, integrals de superfície i integrals de volum. Per la no unicitat d'estes integrals, no es pot definir correctament una antiderivada o integral indefinida.

Història

El càlcul multivariable, una extensió del càlcul d'una sola variable, se centra en funcions de múltiples variables i les seues derivades i integrals. La seua història està profundament entrellaçada en l'evolució del càlcul, que va sorgir a finals de el XVII gràcies al treball pioner d'Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz.

Sigle XVII: El naiximent del càlcul

Newton i Leibniz varen desenrollar de manera independent les bases del càlcul, enfocant-se en funcions d'una sola variable i els conceptes de diferenciació i integració. Les primeres aplicacions del càlcul, com el treball de Newton sobre el moviment planetari, insinuaven la necessitat de tècniques multivariables, pero es varen mantindre principalment en una dimensió.

Sigle XVIII: Primers desenrolls en el càlcul multivariable

El XVIII va vore cóm matemàtics com Leonhard Euler i Joseph-Louis Lagrange varen ampliar el càlcul funcions de vàries variables. Euler va introduir les derivades parcials, un concepte fonamental en el càlcul multivariable. Simultàneament, Lagrange va desenrollar métodos per a resoldre problemes d'optimisació en múltiples variables, culminant en la tècnica dels multiplicadors de Lagrange.

Sigle XIX: Formalisació i expansió

En el XIX, matemàtics com Carl Friedrich Gauss, Augustin-Louis Cauchy i George Green varen alvançar en la formalisació del càlcul multivariable. Gauss va introduir conceptes de curvatura i va desenrollar ferramentes per a analisar superfícies, assentant les bases de la geometria diferencial. Green, per la seua banda, va formular el teorema de Green, conectant integrals de llínea i integrals de superfície en dos dimensions. Estes idees varen ser posteriorment generalisades a dimensions superiors per George Gabriel Stokes i William Rowan Hamilton.

Al mateix temps, Carl Gustav Jacobi i Évariste Galois varen explorar el determinant jacobiano, crucial per a transformar variables en integrals. Estos desenrolls varen destacar la versatilitat del càlcul multivariable en camps com la mecànica, l'electromagnetisme i la dinàmica de decorreguts.

Sigle XX: Integració en les matemàtiques modernes

En el XX, el càlcul multivariable va trobar noves aplicacions en la física, l'ingenieria i l'economia. Matemàtics com Henri Poincaré i Élie Cartan varen aplicar els seus principis a la topología i la geometria diferencial, permetent alvanços en la relativitat general i la mecànica quàntica. Ademés, els alvanços en àlgebra llineal i càlcul tensorial varen ampliar l'alcanç del càlcul multivariable per a analisar espais de dimensions superiors.

A principis de el XXI, el càlcul multivariable sustenta una àmplia gama de disciplines científiques i d'ingenieria, des de la modelació del fluix de decorreguts fins a l'optimisació d'algoritmes d'aprenentage automàtic. La seua evolució històrica reflectix la busca humana per comprendre i descriure el complex món multidimensional que habitem.

Operacions típiques

Llímits i continuïtat

L'estudi de llímits i continuïtat en el càlcul multivariable tira molts resultats contraintuitivos no demostradors per les funcions d'una sola variable. Per eixemple, hi ha funcions escalares de dos variables en punts en el seu domini que brinden diferents llímits quan s'aborden en diferents direccions. Per eixemple, la funció

$f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}$

tendix a zero sempre que l'aproximació al punt $(0,0)$ es realise a lo llarc de rectes que passen a través de l'orige ($y=kx$). No obstant, quan la curva d'aproximació a l'orige és una paràbola $y=\pm x^2$, el valor de la funció té un llímit de $\pm 0.5$. Ya que prendre diferents camins cap al mateix punt produïx diferents valores llímit, no existix un llímit general en el citat punt.

La continuïtat en cada argument no és suficient per a garantisar la continuïtat multivariable, com es pot vore en el següent eixemple. En particular, per a una funció de valor real en dos paràmetros de valor real, $f(x,y)$, la continuïtat de $f$ en $x$ per a $y$ fix i la continuïtat de $f$ en $y$ per a $x$ fix no impliquen continuïtat de $f$.

Considere's

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{y}{x}-y& \text{si}0\le y<x\le 1\\ \frac{x}{y}-x& \text{si}0\le x<y\le 1\\ 1-x& \text{si}0<x=y\\ 0& \text{en otro caso}\end{array}$

És fàcil verificar que esta funció és zero per definició en el llímit i fòra del quadràngul $(0,1)\times (0,1)$. Ademés, les funcions definides per a les variables $x$ i $y$ i per a la constant $0\le a\le 1$ per

$g_a(x)=f(x,a)$ i $h_a(y)=f(a,y)$

són contínues. Específicament,

$g_0(x)=f(x,0)=h_0(0,y)=f(0,y)=0$ per a tots els x i i.

No obstant, la seqüència $f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ (per a $n$ natural) convergix a $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=1$, lo que fa que la funció siga discontínua en $(0,0)$. En aproximar-se a l'orige en direccions no paraleles als eixos $x$ i $y$, es revela esta discontinuidad.

Diferenciació parcial

Artícul principal → Derivades parcials.

La derivada parcial generalisa la noció de derivada a dimensions més altes. Una derivada parcial d'una funció multivariable és una derivada sobre una variable, en la que totes les demés variables es mantenen constants.

Les derivades parcials es poden combinar de formes interessants per a crear expressions més generals de la derivada. En càlcul vectorial, l'operador nabla ($\mathrm{\nabla }$) s'utilisa per a definir els conceptes de gradient, divergència i rotacional en térmens de derivades parcials. Una matriu de derivades parcials, la matriu jacobiana, pot usar-se per a representar la derivada d'una funció entre dos espais de dimensió arbitrària. La derivada pot entendre's aixina com una aplicació llineal que varia directament d'un punt a un atre en el domini de la funció.

Les equacions diferencials que contenen derivades parcials es denominen equació en derivades parcials o EDP. Estes equacions són generalment més difícils de resoldre que les equacions diferencials ordinàries, que contenen derivades sobre una sola variable.

Integració múltiple

Artícul principal → Integral múltiple.

l'integral múltiple expandix el concepte d'integral a funcions de qualsevol número de variables. Les integrals dobles i triples es poden usar per a calcular àrees i volums de regions en el pla i en l'espai. El teorema de Fubini garantisa que una integral múltiple pot evaluar-se com una integral repetida o integral iterada sempre que l'integrant siga continu en tot el domini d'integració.

l'integral de superfície i l'integral de llongitut s'utilisen sobre varietats curves, com superfícies i curvas.

Teorema fonamental del càlcul en múltiples dimensions

En el càlcul d'una sola variable, el teorema fonamental del càlcul establix un víncul entre la derivada i l'integral. L'enllaç entre la derivada i l'integral en el càlcul multivariable està incorporat per les teoremes integrals del càlcul vectorial:

• Teorema del gradient
• Teorema de Stokes
• Teorema de la divergència
• Teorema de Green

En un estudi més alvançat del càlcul multivariable, es veu que estes quatre teoremes són encarnació específiques d'una teorema més general, el Teorema de Stokes generalisat, que s'aplica a l'integració de forma diferencial sobre varietats diferenciables.

Aplicacions i usos

Les tècniques de càlcul multivariable s'utilisen per a estudiar molts objectes d'interés en el món material. En particular,

		Tipo de funcions	Tècniques aplicables
Curvas		$f:ℝ\to {ℝ}^n$ per a $n>1$	Llongituts de curves, integrals de llínees, i curvaturas.
Superfícies		$f:{ℝ}^2\to {ℝ}^n$ per a $n>2$	Àreas de superfícies, integrals de superfícies, flux a través de superfícies, i curvatura.
Camp escalar		$f:{ℝ}^n\to ℝ$	Màxims i mínims, multiplicadors de Lagrange, derivades direccionals, conjunts de nivells.
Camp vectorial		$f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$	Qualsevol de les operacions de càlcul vectorial, incloent gradients, divergències, i rotacionalés.

El càlcul multivariable es pot aplicar per a analisar els sistemes determinista que tenen múltiples graus de llibertat. Les funcions en variables depenents i independents corresponents a cada u dels graus de llibertat a sovint s'usen per a modelar estos sistemes, i el càlcul multivariable proporciona ferramentes per a caracterisar la dinàmica de sistemes.

El càlcul multivariable s'utilisa en el control òptim de sistemes dinàmics en temps continu. S'utilisa en anàlisis de la regressió per a derivar fòrmules per a estimar relacions entre varis conjunts de coneiximents empírics.

El càlcul multivariable s'utilisa en molts camps de les ciències naturals, de les ciències socials i de l'ingenieria per a modelar i estudiar sistemes d'altes dimensions que exhibixen un comportament determinista. En economia, per eixemple, la teoria del consumidor sobre una varietat de productes, i la maximización del benefici sobre vàries entrades i eixides, es modelen en càlculs multivariable.

Els sistemes no determinista o estocàstics poden estudiar-se utilisant un tipo diferent de matemàtiques, com el càlcul estocàstic.

Vore també

Multivariate calculus en Wikimedia Commons.

• Estadística multivariante
• Càlcul vectorial
• Funció diferenciable
• Integral múltiple
• Multiplicadors de Lagrange

Bibliografia

• (1994).«Differential Topology».Springer-Verlag.
• (2006).«Elementary Differential Geometry».Elsevier/Academic Press.Amsterdam:
• (1976).«Principles of Mathematical Analysis».McGraw Hill.New York:

204–299.

• (1965) Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, Sant Francisco: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-9021-9.
• Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System, reprint edició, Dover Publications. ISBN 978-0-486-67910-5.
• Schey, H. M. (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus, W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6.
• Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
• Adams, Robert A.. Calculus: A Complete Course, 5th edició, Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-79131-0.
• (2009) Advanced Engineering Mathematics, 3rd edició, Narosa Publishing House. ISBN 978-81-7319-730-7.
• (1974).«Mathematical Analysis».Addison-Wesley.Menlo Park:

• (1974).«Mathematical Analysis».Addison–Wesley.
• (1921).«A course in pure mathematics».Cambridge University Press.
• (2002).«Mija Highlights».The College Mathematics.33(2)

147–154..

• (2000).«Introduction to real analysis».Wiley.
• (1904).«A Course of Modern Analysis».Cambridge University Press.
• (1997).«The History of Mathematics: An introduction».McGraw–Hill.New York:

558–559.

• Weisstein, Eric W.. «Epsilon-Delta Definition» (en en).
• Weisstein, Eric W.. «Limit» (en en).

Enllaços externs

• Video conferències de la UC Berkeley sobre Càlcul multivariable, autumne de 2009, professor Edward Frenkel
• Video conferències de el MIT sobre el càlcul multivariable, autumne de 2007
• Càlcul multivariable : un llibre de text en llínea gratuït de George Cain i James Herod
• Multivariable Calculus Online : un llibre de text en llínea gratuït de Jeff Knisley
• Càlcul multivariable - Una revisió molt ràpida
• Archivat el 24 de març de 2012 archivat en Wayback Machine., Prof. Blair Perot, Universitat de Massachusetts Amherst